来自[0：n）的k个整数的均匀采样

Question

我的目标是从0，... n-1采样k个整数而不重复。采样整数的顺序无关紧要。在每次呼叫（经常发生）时，n和k将稍微变化但不多（n约为250,000，k约为2,000）。我想出了以下摊销的O（k）算法：

1. 使用项目0,1,2，...，n-1准备阵列A.这需要O（n），但由于n相对稳定，因此可以使成本摊销不变。
2. 从[0：i]中抽取随机数r，其中i = n - 1.这里的成本实际上与n有关，但由于n不是很大，这种依赖性并不重要。
3. 交换第r项和第A列中的第i项。
4. 将我减少1。
5. 重复步骤2~4的k次;现在我们在A的尾部有一个长度为k的随机排列。复制这个。
6. 我们应该将A回滚到其初始状态（0，...，n-1）以保持步骤1的成本不变。这可以通过在步骤2的每次通过时将r推到长度为k的堆栈来完成。堆栈的准备需要摊销不变的成本。

我认为排列/组合的统一抽样应该是一个详尽研究的问题，所以（1）有一个更好的解决方案，或者至少（2）我的解决方案是一个众所周知的解决方案（一个小修改） 。因此，

• 如果是（1），我想知道更好的解决方案。
• 如果是（2），我想找一个参考。

请帮帮我。感谢。

Answer 1

1. 如果k远小于n - 比如说，不到n的一半 - 那么最有效的解决方案是保持哈希中生成的数字table（实际上是一个哈希集，因为没有与键关联的值）。如果随机数恰好已经在哈希表中，则拒绝它并在其位置生成另一个。根据建议的k和n的实际值（k ∼ 2000; n ∼ 250,000），生成k个唯一样本的预期拒绝次数小于10，因此几乎不会引起注意。哈希表的大小为O（k），可以在样本生成结束时删除它。

2. 还可以使用哈希表而不是n值的向量来模拟FYK shuffle算法，从而避免必须拒绝生成的随机数。如果您使用的是向量A，则应首先将A[i]初始化为i，每0 ≤ i < k。使用哈希表H，您可以从空哈希表开始，如果密钥H[i]不在哈希中，则使用i被视为i的约定表。算法中的第3步 - ＆＃34;与A[r]交换A[i]＆＃34; - 变为＆＃34;添加H[r]作为样本的下一个元素，并将H[r]设置为H[i]＆＃34;。请注意，无需设置H[i]，因为该元素永远不会再次引用：所有后续随机数r都是从不包含i的范围生成的。

   因为在这种情况下哈希表包含键和值，它大于上面替代1中使用的哈希集，并且增加的大小（以及随之而来的内存缓存未命中的增加）可能导致比通过消除拒绝来节省。但是，即使k偶尔接近n，它也有工作的优势。

3. 最后，在您提出的算法中，实际上很容易在O（k）时间内恢复A。只有在以下情况下，算法才会修改值A[j]：

   一个。 n − k ≤ j < n或

   湾有一些i，n − k ≤ i < n和A[i] = j。

   因此，您可以通过查看A的每个A[i]来恢复向量n − k ≤ i < n：首先，如果A[i] < n−k，请将A[A[i]]设置为{{1} }};然后，无条件地将A[i]设置为A[i]。