使用1种颜色

Question

我刚刚开始阅读图论，正在阅读有关图着色的内容。这个问题突然出现在我的脑海中：

我们必须使用1种颜色为无向图（不完全）着色，以便最大化彩色节点的数量。我们需要找到这个最大数量。我能够为非循环图制定方法：

我的方法：首先，我们将图形划分为独立的组件，并为每个组件执行此操作。我们制作一个dfs树，并在遍历它时生成2个dp数组，以便root来到最后：

dp[0][u]=sum(dp[1][visited children])

dp[1][u]=sum(dp[0][visited children])

ans=max(dp[1][root],dp[0][root])

dp[0][i] , dp[1][i] are initialized to 0,1 respectively.

这里0代表无色，1代表有色。

但这不适用于循环图，因为我假设没有访问过的孩子。

有人可以指导我如何为循环图解决这个问题（而不是蛮力）吗？是否有可能修改我的方法或我们是否需要提出不同的方法？一种贪婪的方法，如着色边缘最少的节点是否有效？

Answer 1

这个问题也是NP-Hard，被称为maximum independent set problem。

如果S<=V中的每两个顶点u,v都没有边{{1>，则图表中的集S被称为独立集 }}

(u,v)的最大尺寸（您正在寻找的数字）被称为图表的独立编号，不幸的是发现它是NP-Hard。

因此，除非P = NP，否则您的算法会因一般用途图而失败。

证明它非常简单，给定图表S，当且仅当G=(V,E)是G'=(V,E')时才创建(u,v) E'所在的互补图(u,v)不在E。

现在，给定一个图G，当且仅当k中有一个独立的大小k时，才会有一个大小为G'的集团，使用相同的顶点（因为if（u，v）是两个顶点的独立集合，(u,v)中没有边E'，根据定义，E中有一条边。重复所有独立集合中的顶点，你在G）中得到了一个集团。

由于clique problem是NP-Hard，这使得这个很好。