Question

我想乘车从X市到Y市。我的车有一个小油箱，加油站只存在于道路交叉口（交叉口是节点，道路是边缘）。因此，我想采取一条路径，使我在两个加油站之间行驶的最大距离最小化。我可以使用什么有效的算法来找到该路径？蛮力是一个坏的解决方案。我想知道是否存在更有效的算法。

Answer 1

这是一个简单的解决方案：

按重量对边缘进行排序。
开始逐个添加（从最轻到最重），直到X和Y连接。
要检查它们是否已连接，您可以使用union-find 数据结构。

时间复杂度为O(E log E)。

正确性的证明：

正确答案不大于此解决方案返回的答案。情况就是这样，因为解决方案是建设性的：一旦X和Y在同一个组件中，我们就可以明确地记下它们之间的路径。它不能包含更重的边缘，因为它们还没有被添加。
正确答案不小于此解决方案返回的答案。我们假设在X和Y之间存在一条路径，该路径由权重严格小于返回答案的边组成。但是不可能，因为之前处理了所有较轻的边缘（我们按排序顺序迭代它们）并且X和Y处于不同的组件中。因此，它们之间没有路径。

1）和2）暗示该算法的正确性。

此解决方案适用于无向图。

这是一个解决定向案例问题的算法（它也适用于无向图）：

让我们根据权重对边缘进行排序。
让我们对路径中最重边缘的权重进行二分搜索（它由所有边缘的排序列表中的边缘索引确定）。
对于固定答案候选人i，我们可以执行以下操作：
1. 在排序列表中添加索引最多为i的所有边（即，所有边都不比当前边重）。
2. 运行DFS或BFS以检查是否存在从X到Y的路径。
3. 根据此类路径的存在，在二分查找中调整左右边框。

时间复杂度为O((E + V) * log E)（我们运行DFS / BFS log E次，每次都在O(E + V)时间内完成。

这是一个伪代码：

if (X == Y)
    return 0 // We don't need any edges.
if (Y is not reachable from X using all edges)
    return -1 // No solution.
edges = a list of edges sorted by their weight in increasing order 
low = -1 // definitely to small(no edges)
high = edges.length - 1 // definitely big enough(all edges)
while (high - low > 1) 
    mid = low + (high - low) / 2
    g = empty graph
    for i = 0...mid
        g.add(edges[i])
    if (g.hasPath(X, Y)) // Checks that there is a path using DFS or BFS
         high = mid
    else
         low = mid
return edges[high]

用于找到最小化两个节点之间的最大权重的路径的算法

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