Question

我第一次通过算法类的分析，并想知道是否有人可以协助下面的例子。我相信我已经解决了它的O（n）复杂性，但是想知道是否有更好的版本，我没有想到O（logn）？

设A = A [1]＆lt; = ...＆lt; = A [n + 1]是n个不同整数的排序数组，其中每个整数在[1 ... n + 1]范围内]。也就是说，A中缺少{1，...，n + 1}中的一个整数。描述一个efficeint算法来找到缺失的整数。分析算法的最坏情况复杂性（对数组A的访问次数）。

我所拥有的解决方案相对简单，我相信会导致最坏情况下的N复杂性。也许我在想这个例子，但是有更好的解决方案吗？

我的解决方案

for(i = 1; i < n +1; i++) :
    if(A[i-1] > i) :
         return i

这背后的逻辑是因为它被排序，第一个元素必须是1，第二个必须是2，依此类推，直到数组中的元素大于它应该是的元素，指示一个元素被遗漏，返回它应该是的元素，我们有一个缺失的元素。

这是正确的逻辑吗？有没有更好的方法呢？

感谢您提前阅读并感谢您的帮助。

Answer 1

这个逻辑肯定是正确的，但它不足以击败O（n），因为你检查每个元素。

您可以通过观察A[i]==i来更快地完成此操作，然后j < i处的所有元素都在适当的位置。这个观察应该足以构建一个在O（log ₂ n）中运行的分而治之的方法：

检查中间的元素
如果它在错误的位置，请左转
否则，请右转

更正式地说，您正在寻找A[i]==i和A[i+1]==i+2的位置。您从数组末尾的间隔开始。间隔中间的每个探针将剩余间隔缩小两倍。在某些时候，你只剩下两个元素的间隔。左边的元素是最后一个＆＃34;正确的＆＃34;元素，而右边的元素是缺少数字后的第一个元素。

Answer 2

您可以使用A [i]＆gt;二进制搜索第一个索引i一世。如果缺失的整数是k，则对于i = k。

Answer 3

有时诀窍是以不同的方式思考问题。

在精神上，你只是使用一组布尔值;索引n的条目是a[n] > n的真相。

此外，此数组以零个或多个连续false开头，其余条目均为true。

现在，你的问题是找到布尔值（排序）数组中true的第一个实例的索引。

算法分析 - 查找排序数组中丢失的整数优于O（n）

3 个答案: