O（n log n）算法总是优于所有O（n ^ 2）算法吗？

Question

在尝试正确理解Big-O时，我想知道O(n log n)算法是否始终优于所有 O(n^2)算法。

是否有O(n^2)会更好的特殊情况？

我已多次阅读，例如，在排序中，当数据几乎排序时，像气泡排序这样的O(n^2)算法会特别快，因此它会比O(n log n)算法更快，例如合并排序，在这种情况下？

Answer 1

O（n log n）优于O（n ² ）渐近。

Big-O，Big-Theta，Big-Omega，所有这些都衡量函数的渐近行为，即函数在其参数达到某个极限时的行为方式。

O（n log n）函数比O（n ² ）函数生长得慢，这就是Big-O符号本质上所说的。但是，这并不意味着O（n log n）总是更快。它只是意味着在某些时候，对于不断上升的n值，O（n log n）函数总是更便宜。

在该图像中，f（n）= O（g（n））。注意，有一个范围，其中f（n）实际上比g（n）更昂贵，即使它是由g（n）渐近限制的。然而，当谈到限制或渐近的时候，从长远来看，f（n）优于g（n）＆＃34;＆＃34;所以说。

Answer 2

不，O(n log n)算法并不总是优于O(n^2)算法。 Big-O表示法描述算法的渐近行为的上限，即对于倾向于无穷大的n。

在此定义中，您必须考虑以下几个方面：

1. Big-O表示法是算法复杂度的上限，这意味着对于某些输入（如您提到的关于排序算法的输入），具有最差Big-O复杂度的算法实际上可能表现更好（冒泡排序运行在{ {1}}表示已排序的数组，而mergesort和quicksort始终至少O(n)};
2. Big-O表示法仅描述了复杂性类别，隐藏了在实际情况下可能相关的所有常数因子。例如，对于小于2000000的输入，类O(n log n)中具有复杂度1000000 x的算法比具有复杂度O(n)（类0.5 x^2）的算法执行得最差。基本上， Big-O表示法告诉您，对于足够大的输入n，O(n^2)算法的效果优于O(n)，但如果使用小输入，您可能仍然更喜欢后一种解决方案。

Answer 3

除了@ cadaniluk的回答：

如果将算法的输入限制为非常特殊的类型，这也会影响运行时间。例如。如果仅在已排序的列表上运行排序算法，BubbleSort将以线性时间运行，但MergeSort仍需要O（n log n）。 还有一些算法具有糟糕的最坏情况复杂性，但具有良好的平均情况复杂性。这意味着存在错误的输入实例，使得算法很慢，但总的来说，您不太可能遇到这种情况。

也永远不要忘记，Big-O表示法隐藏了较低阶的常量和附加函数。因此，具有最坏情况复杂度O（n log n）的算法实际上可能具有2 ^ 10000 * n * log n的复杂度，并且您的O（n ^ 2）算法实际上可以在1/2 ^ 1000 n ^ 2中运行。因此对于n＆lt; 2 ^ 10000你真的想要使用＆＃34;更慢＆＃34;算法

Answer 4

这是一个实际的例子。 排序函数的GCC实现具有O（n log n）复杂度。然而，一旦被分类的部分的大小小于某个小常数，它们就采用O（n ^ 2）算法。 这是因为对于小尺寸，它们在实践中往往更快。

See here用于某些内部实施。