如何使用MATLAB解决此PDE

Question

我在练习考试中有以下问题：

我需要使用MATLAB来解决它。问题是，我之前没有看到这样的问题而且我很难开始。

我有1x1网格，分成10x10。我知道我可以使用1/10 * x * 2计算角落以外的整个底行。我也知道我可以使用（1/10）（1 + t）^ 2计算整个右行。但是，我无法弄清楚如何获得足够的分数来填充整个网格的值。我知道它必须与问题中给出的偏导数有关，但我不太确定它们在哪里发挥作用（尤其是u_x方程）。有人可以帮助我从这里开始吗？

我不需要整个解决方案。一旦我有足够的积分，我就可以轻松编写一个matlab程序来解决剩下的问题。真的，我想我只需要解决x = 0轴，然后我就填写网格的中间部分。

我计算了底行，减去两个角，为0.001,0.004,0.009,0.016,0.025,0.036,0.049,0.064,0.081。类似地，使用给定的边界条件计算整个右行是很简单的。我无法拼凑到哪里去。

编辑：第三个边界条件方程输入错误。它应该是：

u_x（0，t）= 1 / 5t，NOT u（0，t）= 1 / 5t

Answer 1

首先要意识到你必须解决的方程是线性波方程，你给出的数值方案可以改写为

( u^(n+1)_m - 2u^n_m + u^(n-1)_m )/k^2 = ( u^n_(m-1) - 2u^n_m + u^n_(m+1) )/h^2

其中k是时间步长，h是空间中的delta x。

重新拟定的数值方案清楚地表明，左侧和右侧分别是u_tt和u_xx的二阶中心有限差分近似。

然而，要以数字方式解决问题，您需要使用给定的表单，因为它是您需要以数字方式实现的显式更新公式：它为您提供时间n+1处的解决方案作为函数的函数前两次n和n-1。您需要从初始条件开始并及时推进解决方案。

观察解决方案已分配在域的边界（x=0和x=1），因此离散化解决方案的值u^(n)_0和{任何u^(n)_10（n）{1}} 已知。在t=n*k时间步，您的未知数是向量n。

另请注意，要使用更新公式在[u^(n+1)_1, u^(n+1)_2, ..., u^(n+1)_9]步骤中查找解决方案，需要了解两个之前步骤中的解决方案。那么，如果您以前需要来自两个的信息，如何从n+1开始？这是初始条件发挥作用的地方。 您可以在n=0（n=0）获得解决方案，但t=0也有u_t。这两条信息的组合可以为您提供t=0和u^0，让您入门。

我会使用以下启动方案：

u^1

与u^0_m = u(h*m,0) // initial condition on u (u^2_m - u^0_m)/(2k) = u_t(h*m,0) // initial condition on u_t 使用的数值方案相结合，为n=1提供了为u^1_m和u^2_m定义线性系统所需的一切。

总结：

- 使用启动方案同时在m=1,...,9和n=1 找到解决方案。

- 从那时开始使用你给出的数值方案。

如果你完全迷失了，请查看：有限差分格式，平流方程的有限差分格式，双曲线方程的有限差分格式，时间推进等。

编辑：

对于n=2上的边界条件，您通常使用 ghost单元格方法：

• 在u_x处引入一个鬼影单元，即用于处理边界条件的虚拟（或辅助）网格点，但这不是解决方案的一部分。

• 第一个节点m=-1又回到了您的未知向量中，即您正在使用m=0。

• 使用左侧边界条件关闭系统。 具体来说，通过记下边界条件的居中近似值

  [u_0 u_1 ... u_9]

• 上面的等式允许您根据内部实节点上的解决方案在ghost节点上表达解决方案。因此，您可以将时间推进的数值方案（您给出的方案）应用于u^n_(1) - u^n_(-1) = 2*h*u_x(0,k*n)节点。 （应用于m=0的数值方案将包含来自m=0 ghost节点的贡献，但现在您已根据m=-1节点表示。）