Question

让我们说我们有N个工作岗位和K工人来完成这些工作。但对于一些工作，我们需要2名员工，而对于一些人，我们只需要一名。员工也无法完成所有工作。例如，工人1可以完成工作1,2和5，而不是工作3和4.另外，如果我们雇佣工人1来做工作1，那么我们希望他做第2和第5工作，因为我们已经付了工资。

例如，假设我们有5个工作岗位和6个工人。对于1,2和4工作，我们需要2个人，而对于工作3和5，我们只需要一个。这里是每个工人可以做的工作清单和他需要的工资。

Worker 1 can do jobs 1,3,5 and he requires 1000 dollars. 
Worker 2 can do jobs 1,5 and he requires 2000 dollars. 
Worker 3 can do jobs 1,2 and he requires 1500 dollars. 
Worker 4 can do jobs 2,4 and he requires 2500 dollars. 
Worker 5 can do jobs 4,5 and he requires 1500 dollars. 
Worker 6 can do jobs 3,5 and he requires 1000 dollars.

经过一些计算和逻辑思考，我们可以得出结论，我们必须雇用1,3,4和5工人，这意味着我们需要支付的最低工资是：1000 + 1500 + 2500 + 1500 = 5500美元。

但是我们如何才能找到一个可以输出该数量的有效算法呢？这让我想起匈牙利算法，但所有这些额外的约束使我无法应用它。

Answer 1

我们可以将所有工作的状态表示为三元系统中的数字（2个人剩余2个人，剩下1个人，如果已经完成则为0个人）。现在我们可以计算f（掩模，k）=在第一个k中雇佣一些工人的最小成本，使剩余工作的状态成为掩盖。过渡如下：我们要么去（掩码，k + 1）（不雇用当前的工人），要么去（new_mask，k + 1）（在这种情况下，我们向这个工人支付他的工资并让他做所有的工作他可以的工作）。答案是f（0，K）。

时间复杂度为O（3 ^ N * K * N）。

以下是如何进一步优化它（并摆脱N因素）的想法。我们假设当前的掩码为mask，并且该人可以从另一个mask'开始工作。我们实际上只需将mask添加到mask'，但有一个问题：2中的mask和1中mask'的位置会破碎的。但我们可以修复：对于每个掩码，让我们预先计算包含数字不是allowed_mask的所有位置的二进制掩码2。对于每个人和每个allowed_mask，我们可以预先计算mask'值。现在每个过渡只是一个补充：

for i = 0 ... k - 1
    for mask = 0 ... 3^n - 1
        allowed_mask = precomputed_allowed_mask[mask]
        // make a transition to (i + 1, mask + add_for_allowed_mask[i][allowed_mask])
        // make a transition to (i + 1, mask)

请注意，只有2^n个允许的掩码。因此，此解决方案的时间复杂度为O(3^N * N + T * 2^N * K * N + T * 3^N * K)（第一个术语用于预先计算所有三元掩码的allowed_masks，第二个用于为所有allowed_masks和people预先计算mask'，最后一个用于dp本身）。

具有多个赋值的匈牙利算法

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