d（v）的＆GT; d（U）+ W（U，V）

Question

我三天前参加了奥林匹克考试。我遇到了一个很好的问题如下。

我们知道bellman-ford算法检查每个步骤中的所有边缘，如果是，则检查每个边缘

d（v）的＆GT; d（U）+ W（U，V）

然后更新d(v)，w(u,v)是边(u, v)的权重，d(u)是顶点u的最佳查找路径的长度。如果在一步中我们有no update for vertexes，那么算法terminate。假设这个算法，用于在s迭代完成后找到图G中具有n顶点的顶点k < n的所有最短路径，以下哪项是正确的？

1）来自s的所有最短路径中的边数最多为k-1

2）来自s的所有最短路径的权重最多为k-1

3）图表没有负循环。

谁可以讨论这些选项？

Answer 1

1是不正确的，因为如果我们碰巧以最短路径树的拓扑顺序放松弧，那么我们会在一次迭代中收敛，尽管最短路径树可能是任意深度的。

s --> t --> u --> v

Relax s->t, t->u, u->v; shortest path from s->v is three hops,
but B--F has made two iterations.

如果我们同时进行放松（即，总是使用圆r中圆r-1的值，即使圆r已更新它们），那么1实际上是正确的，通过归纳（最短路径树的深度）从零开始，每轮最多只增加一次，而不是最后一轮。

2是不正确的，因为谁知道权重是多少？

  100
s --> t

Relax s->t; weight is 100, but B--F has made two iterations.

3是正确的，因为通过平均参数，至少一个负循环的弧将被放松。让v1, ..., vn成为一个循环。由于弧线是放松的，我们有d(vi) + len(vi->vi+1) - d(vi+1) >= 0。求和所有i的不等式，并将d项缩小为sum_i len(vi->vi+1) >= 0，这表示该循环是非负的。

Answer 2

我认为选项3是不正确的，因为要知道是否存在负权重周期，Bellman ford算法需要运行n次。首先计算最短路径n-1次，然后再一次检查距离是否有任何改善，如果有改进，则表示负重周期为负。

Bellman Ford和One Olympiad有问题吗？

d（v）的＆GT; d（U）+ W（U，V）

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