Question

这是2013年本地INOI信息学奥林匹克问题。

假设我们在实轴上有1393个点。我们要为此着色对于每个任意区间[a，b]，如果至少有一个，则指向这些点在1393点之间的间隔，至少一点内间隔与此间隔中的其他点具有不同的颜色。同这可以做多少种颜色？（最佳答案是11）。

INOI承诺用11简短回答。我们如何计算这个问题？

Answer 1

权利要求

使用k颜色可以着色的最多点是2 ^ k-1。

证明

如果我们有0种颜色，那么显然我们可以不对任何点进行着色，所以k == 0就是这样。

对于k> 0，我们使用归纳法。

考虑包含所有点的区间。必须有一种颜色恰好出现一次。考虑这一点左边的点。这些点用k-1颜色着色，因此它们最多可以有2 ^（k-1）-1。

同样，右边最多有2 ^（k-1）-1。

总共最多可以有1 + 2 ^（k-1）-1 + 2 ^（k-1）-1 = 2 ^ k-1个k点的颜色。

2 ^ 10-1 = 1023,2 ^ 11-1 = 2047，所以这显示了你的情况下11种颜色的下限，而TonyK已经给出了一个结构，表明这可以实现。

Answer 2

如果第n个点的颜色仅由n的二进制展开中的尾随零的数量确定，则满足条件。我们可以使用11种颜色，最多2047个点。

相反 - 我们可以用更少的点来做 - 是另一个问题。

15分示例：

Binary Trailing zeroes Colour
------ --------------- ------
1      0               blue
10     1               red
11     0               blue
100    2               green
101    0               blue
110    1               red
111    0               blue
1000   3               yellow
1001   0               blue
1010   1               red
1011   0               blue
1100   2               green
1101   0               blue
1110   1               red
1111   0               blue

信息学奥林匹克问题和颜色间隔？

2 个答案:

权利要求

证明