Question

我尝试通过this教程学习Isabelle / HOL。关于双重功能的练习有问题。我这样定义：

fun double :: "nat ⇒ nat" where 
"double 0 = add 0 0" |
"double (Suc m) = Suc(Suc (double m))"

但是当我在我的定理中试图证明双m =加m m时：

theorem add_d [simp] : "double x = add x x"
apply(induction x)
apply(auto)
done

apply（auto）永远不会被评估（它的背景是粉红色的（？））。同样的练习要求证明add的交换性和相关性，这个工作正常。我使用Isabelle2014和默认（Jedit）IDE。

Answer 1

在评论的代码中，许多定理都有[simp]属性，告诉Isabelle将它们添加到simpset中。然而，其中一些不适合作为重写规则（由simp和auto使用），因为它们导致一个术语可以再次应用相同的规则，从而导致无限循环。从simpset中删除有问题的定理可以解决问题：

theorem add_d: "double x = add x x"
  apply (induction x)
  apply (auto simp del: add_zero)
done

但更好的解决方案是避免首先将这些定理添加到simpset，例如从声明中删除[simp]属性：

lemma add_zero: "add x 0 = add 0 x"
  apply (induction x)
  apply (auto)
done

之后add_d不需要simp del部分。但是可能需要明确告知其他一些定理使用这个特定的规则，例如：这一个：

theorem add_com: "add x y = add y x"
  apply (induction x)
  apply (auto simp add: add_zero)
done

请注意，与您的代码相比，[simp]属性会再次被删除，以避免在其他地方使用add_com时进行循环重写。

Answer 2

虽然亚历山大关于简单规则的建议是合理的，但我还是要进一步评论。

首先，在您对double的定义中，我会将add 0 0替换为0。作为一般建议：更喜欢简单表达而不是复杂表达。

其次，Isabelle的简化实际上是“聪明”的，足以处理AC的重写（即关联性和交换性），而不会出现循环，即你的两个引理

lemma add_assoc [simp]:
  "add (add x y) z = add x (add y z)"

和

lemma add_commute [simp]:
  "add x y = add y x"

可以作为简单规则（即，您可以保留[simp]属性）。您遇到的循环原因是您的引理

(*BAD*)
lemma add_zero [simp]:
  "add x 0 = add 0 x"

由于它在 simpset （Isabelle术语，用于simp和auto等方法所使用的所有简化规则集）允许无限推导：

add 0 0 = add 0 0 = add 0 0 = ...

我建议用

替换它

lemma add_zero [simp]:
  "add x 0 = x"

然后你所有的证据（如果它们以正确的顺序陈述）应该是“自动的”在某种意义上

apply (induction ...)
apply auto
done

可以缩写为

by (induction ...) (auto)