Question

我尝试使用partial_function关键字定义部分函数。那没起效。这是最能表达直觉的那个：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity Zero = Zero "
| "oddity (Succ (Succ n)) = n"

然后我尝试了以下内容：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity arg = ( case arg of (Succ (Succ n)) => n
                          | Zero => Zero
                )"

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity (Succ(Succ n)) = n
   | oddity Zero = Zero"

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity n =
   (if n = Zero then Zero
    else if (n >= 2)
      then do { m ← oddity (n-2); m })"

他们都没有奏效。我想我的尝试有概念和句法问题，这些是什么？

Answer 1

您的定义存在两个问题：

partial_function不支持左侧的模式匹配。必须使用右侧的case表达式进行模拟。
类型nat的构造函数是Suc和0，而不是Succ和Zero。这就是为什么你的case表达式生成Succ和Zero不是数据类型构造函数的错误，以及为什么parital_function抱怨Zero是右边的额外变量。

总之，以下工作：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where "oddity arg = (case arg of (Suc (Suc n)) => n | 0 => 0 )"

您可以使用simp_of_case的{{1}}转换来恢复带模式匹配的简化规则：

~~/src/HOL/Library/Simps_Case_Conv

Answer 2

关于你上一个例子的一些评论：

Isabelle / HOL中没有if-then没有else。因此语法错误。要解决此问题，您必须为上一个else提供if - 分支，或者重写定义。 E.g。

partial_function (tailrec) oddity :: "nat ⇒ nat"
where
  "oddity n = (
    if n = 0 then 0
    else if n ≥ 2 then do { m ← oddity (n - 2); m }
    else undefined)"

此时会出现“未解决的adhoc重载”错误。请记住，do-notation只是语法糖。让我们通过用
查看do-block来试着看看实际发生了什么
```
term "do { m ← oddity (n - 2); m }"
```
由于仍有未解决的重载问题，我们可以将m的类型修改为'a list，并停用adhoc重载的“漂亮打印”，如下所示
```
declare [[show_variants]]
term "do { m ← oddity (n - 2); (m :: 'a list) }"
```
结果是
```
"List.bind (oddity (n - 2)) (λm. m)"
```
因此，您可以看到，而不是您键入的分号;，会插入一个常量bind（确切的常量取决于类型）。没有bind注册类型nat，因此出现上述错误。虽然你可以定义某种“身份monad”，但这显示了在这里没有多少意义。相反，以下定义怎么样？
```
partial_function (tailrec) oddity :: "nat ⇒ nat"
where
  "oddity n = (
    if n = 0 then 0
    else if n ≥ 2 then oddity (n - 2)
    else undefined)"
```
更新：为了完整起见，让我们看看我们如何定义上面提到的身份monad。首先，我们需要一个绑定操作，即一个常量取一个标识monad和一个返回一个标识monad的函数，并将这些参数组合成一个标识monad。第一个也是最简单的想法可能是
```
definition "bind_id' x f = f x"
```
这只是功能应用程序的逆序。但是，根据此定义，我们稍后会遇到bind_id'所需的(tailrec)单调性问题。因此我们改为使用
```
definition "bind_id x f = (if x = undefined then undefined else f x)"
```
保证bind_id x f只要undefined为x，因此是单调的。然后我们为monadic bind的adhoc重载注册这个新的常量，如此
```
adhoc_overloading
  Monad_Syntax.bind bind_id
```
现在仍然需要证明bind_id w.r.t的单调性。 mono_tailrec，留作练习（只是模仿mono_option中Partial_Function已经完成的操作。然后，您接受使用do-notation的定义。
您可能不会oddity 1未定义。但由于我不确定oddity的目的，我无法确定。

如何在Isabelle中定义部分函数？

2 个答案: