钟摆涉及scipy颂歌

Question

我正在使用scipy ode解决钟摆问题。

from scipy import *
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import ode

def pendulumdot(t, y,  gamma, omega0, Fd):
    theta, v = y[0], y[1]
    return array([v, -2*gamma*v-omega0**2*sin(theta)+Fd*cos(2*pi*t)])



def pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t):
    Theta0 = array([theta0, thetadot0]) 
    r = ode(pendulumdot)
    r.set_integrator('dopri5')
    r.set_initial_value(Theta0)
    r.set_f_params( gamma, omega0, Fd)
    #r.set_jac_params()
    theta = zeros(len(t))
    thetadot = zeros(len(t))
    theta[0] = theta0
    thetadot[0] = thetadot0
    for n in range(1, len(t)):
        r.integrate(t[n])
        assert r.successful()
        theta[n] = (r.y)[0]
        thetadot[n] = (r.y)[1]
    return theta, thetadot
def pendulum_demo():
    gamma = 0.1
    omega0 = 10.0
    theta0 = 0.0
    thetadot0 = 0.0
    Fd = 50.0
    t1 = linspace(0, 200, 10000)
    theta1, thetadot1 = pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t1)
    plt.plot(t1, theta1)
    t2 = linspace(0, 150, 10000)
    theta2, thetadot2 = pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t2)
    plt.plot(t2, theta2)
    plt.show()
pendulum_demo()

我在不同的时间范围内绘制两个θ与时间的关系图，一个是（0,150），一个是（0,200）。我期望的是这两个数字在时间范围（0,150）中应该是相同的，但是，这不是我观察到的。我的脚本出了什么问题？感谢。

Answer 1

您可能应该使用

中的完整初始化

r.set_integrator('dopri5', atol=1, rtol = 1e-8)
r.set_initial_value(Theta0, t=t[0])

可让您控制绝对和相对误差阈值，并明确设置初始时间。

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您的系统的Lipschitz常量L约为或更大omega0**2=100。误差传播由因子exp(L*(t_final-t))支配。

例如，从时间50到时间150，此因子为exp(100*100)，约为10^4343。出于所有实际目的，这意味着最终值对初始值没有可辨别的依赖性，即系统是混乱的。

实际方面看起来比这个悲观估计要好一些，因为两条曲线都与约t=10重合。这意味着，假设误差容限为1e-8，exp(L*10)<=1e+8或L=1.84...。这为大小100的间隔提供了exp(L*100)=1e+80的误差放大系数，它仍然足以使结果混乱。

使用错误阈值的实验表明，约t=8.4处的初始分歧点对相对误差不敏感。此外，分歧（在我的实验中，而不是你的图片）产生dt=1中从1到24的差异增长，这给出了L=3，这仍然与最后的估计一致并且远小于理论L=100。

为了更好地了解会发生什么，您还应该调查衍生图，

plt.plot(t1,thetadot1,t2,thetadot2)
plt.show()

惊人地证明了混乱行为的起源。