图论：每个顶点都属于图的某个组成部分

Question

我直观地知道，某个无向图的每个顶点都必须属于图的某个组成部分，因为至少图的每个顶点都与自身相连。但是如何才能正式证明这一点呢？

Answer 1

考虑运算符〜（可能是无限的）图G中的顶点，其中V1~V2，如果V1和V2之间存在路径（并允许V~V）。那么〜是顶点（G）的等价关系，因为它是自反的，对称的和传递的（你应该验证这些属性中的每一个）。

通过组件的定义，顶点（G）/〜中的每个等价类仅与G的一个组件相关联，并且恰好包含相关组件的顶点。 Equivalence classes form a partition of the sets on which they are defined，以便G的每个顶点至少有一个等价类，因此只有一个组件。