在有向图中查找每个顶点的可到达顶点

Question

我知道执行此操作的强力方法是对图的所有顶点执行DFS。因此，对于此算法，复杂度将为O（V | V + E |）。但有更有效的方法吗？

Answer 1

我真的怀疑通用图没有更好的算法。我在主题[1] [2]上找到的所有论文都描述了在O（| V | * | E |）时间内运行的算法。在最坏的情况下，这并不比你天真的尝试好。

甚至维基百科页面[3]都说最快的算法可以将问题减少到矩阵乘法，最快的算法只比基线稍微好一点。

[1] http://ion.uwinnipeg.ca/~ychen2/conferencePapers/tranRelationCopy.pdf

[2] http://www.vldb.org/conf/1988/P382.PDF

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_closure#Algorithms

Answer 2

我从http://research.microsoft.com/pubs/144985/todsfinal.pdf等论文中得到的结论是，在一般情况下，没有比O(VE)或O(V^3)更好的算法。对于稀疏图和其他特殊图，有更快的算法。但是，似乎你仍然可以通过分离＆＃34;索引构建＆＃34;来自＆＃34; query＆＃34;，如果您对将对数据进行的查询数量有所了解。如果要进行大量查询，如果所有数据都已预先计算（DFS或Floyd-Warshall等）并存储在O(1)空间中，则O(n^2)可用于查询。另一方面，如果查询相对较少，则可以以查询时间为代价减少空间和/或索引构建时间。

Answer 3

[编辑：正如kraskevich所指出的，最后的查询步骤可能比我原先声称的更糟糕：即使输出大小为O（| V |），也最多为O（| V | ^ 2） ，这并不比没有任何预处理的普通DFS好。] 。

在最坏的情况下，需要O（| V | ^ 2）空间来显式存储所有这些信息 - 即，存储每个顶点的可到达顶点的完整列表（想想每个顶点的图形）每个其他顶点都有一条边。但是有可能以这样的方式表示它，只需要O（| V |）空间，并且这种表示可以在O（| V | + | E |）时间内构建，并且对它的查询将是只花时间与答案的大小成比例（可达顶点的数量）。

基本思想是： strongly connected component（SCC）中的每个顶点都可以到达同一SCC中的每个其他顶点（这是SCC的定义），并且可以到达SCC中的所有顶点可以到达，没有其他顶点。

1. 查找所有SCC;这可以在O（| V | + | E |）时间内完成。构建表SCC，如果u的SCC是i，则SCC（u）= i（G和SCC中的两个顶点都可以表示为整数）。然后再通过这个表来构建一个双表Verts，这样Verts（i）包含了第i个SCC中所有顶点的列表。
2. 构建一个新的图G'，其顶点是G的SC。G'必然是非循环的。

因此，给定G中的顶点u，查找其SCC，SCC（u）。叫这个我。从顶点i开始执行DFS到G'：对于在此DFS期间遇到的每个顶点（G'）j，输出Verts（j）中的每个顶点（G）。