Question

我遇到了解决各种问题的动态编程解决方案的问题，特别是硬币更改问题：

“给定值N，如果我们想要改变N美分，并且我们每个S = {S1，S2，..，Sm}价值硬币都有无限供应，我们可以通过多少方式进行更改？硬币的顺序无关紧要。

例如，对于N = 4和S = {1,2,3}，有四个解：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}， {1,3}。因此输出应为4.对于N = 10且S = {2,5,3,6}，有五种解决方案：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}， {2,2,6}，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5。“

此问题还有另一种变化，即解决方案是满足金额的最小硬币数量。

这些问题看起来非常相似，但解决方案非常不同。

进行更改的可能方式：最佳子结构为 DP（m，n）= DP（m-1，n）+ DP（m，n-Sm）其中DP是所有硬币直到第m个硬币的解决方案的数量，金额= n。

最小硬币数量：这是最佳的子结构 DP [i] = Min {DP [i-d1]，DP [i-d2]，... DP [i-dn]} + 1 其中i是总量，d1 .. dn代表每个硬币面额。

为什么第一个需要2-D阵列而第二个需要1-D阵列？为什么改变方式的最佳子结构不是“ DP [i] = DP [i-d1] + DP [i-d2] + ... DP [i-dn] “其中DP [i]是我可以通过硬币获得金额的方式。这对我来说听起来很合乎逻辑，但却产生了错误的答案。为什么这个问题需要硬币的第二个维度，但在最小量问题中不需要？

问题的链接：

http://comproguide.blogspot.com/2013/12/minimum-coin-change-problem.html http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/

提前致谢。我去的每个网站只解释解决方案的工作原理，而不是其他解决方案不起作用的原因。

Answer 1

让我们先谈谈道路的数量， DP（m，n）= DP（m-1，n）+ DP（m，n-Sm）。这确实是正确的，因为要么你可以使用mth面额，要么你可以避免它。现在你说为什么我们不把它写成 DP [i] = DP [i-d1] + DP [i-d2] + ... DP [i-dn] 。那么这将导致过度计数，让我们举个例子，其中n = 4 m = 2且S = {1,3}。现在根据你的解决方案dp [4] = dp [1] + dp [3]。（假设1是基本情况dp [1] = 1）。现在dp [3] = dp [2] + dp [0]。（再次基础情况下dp [0] = 1）。再次应用相同的dp [2] = dp [1] = 1。因此总的来说，当它应该只是2（（1,3）和（1,1,1,1））时你会得到3的答案。它是因为你的第二种方法将（1,3）和（3,1）视为两种不同的解决方案。你的第二种方法可以应用于订单重要的情况，这也是一个标准问题。
现在谈谈你的第二个问题，你说最少的面额可以通过 DP [i] = Min {DP [i-d1]，DP [i-d2]，... DP [i-dn]} + 1 找到。这是正确的，因为在寻找最小面额时，订单或没有订单无关紧要。为什么这是线性/ 1-D DP，尽管DP阵列是1-D，但每个状态依赖于最多m个状态，这与第一个解决方案不同，其中阵列是2-D但每个状态最多取决于2个状态。因此，在两种情况下，运行时间（状态数*每个状态所依赖的状态数）与 O（nm）相同。所以两者都是正确的，只是你的第二个解决方案可以节因此，您可以通过1-D数组方法或2-D通过使用重复来找到它的 DP（N，M）= MIN（DP（M-1，N），1个+ DP（M，N-SM））即可。（只需在第一次复发时使用min）

希望我清除了疑虑，如果还有不清楚的话，请发帖。

Answer 2

This是使用动态编程解决硬币变化问题的一个非常好的解释。

代码如下：

public static int change(int amount, int[] coins){
    int[] combinations = new int[amount + 1];

    combinations[0] = 1;

    for(int coin : coins){
        for(int i = 1; i < combinations.length; i++){
            if(i >= coin){
                combinations[i] += combinations[i - coin];
                //printAmount(combinations);
            }
        }
        //System.out.println();
    }

    return combinations[amount];
}

动态规划硬币变化问题

2 个答案: