Question

以下代码的时间复杂度为O（2 ^ n），请您解释一下为什么？

int f(int n)
{
 if (n == 1)
 return 1;
 return 1 + f(f(n-1));
}

提前致谢

Answer 1

f（n）= n是这种复原关系的解决方案

证明： f（n）= f（f（n-1））+ 1 = f（n-1）+ 1 =（n-1）+ 1 = n

验证它的示例VBA代码：

Sub test()
    For i = 1 To 20
        Debug.Print i, f(i)
    Next
End Sub

Function f(ByVal n As Long) As Long
    If n = 1 Then
        f = 1
    Else
        f = 1 + f(f(n - 1))
    End If
End Function

由于我们已经确定f（n）= n，我们可以得出结论

f（n-1）= n-1

假设需要An次调用才能得到f（n），An是一个递归关系：

An = 1 + 2 * An-1

计算f（n）的调用
计算将返回n-1
然后计算f（f（n-1））的次数相同，因为我们再次使用n-1调用f。

递归关系的解是2 ^ n - 1

Answer 2

成本复杂度为2 ^ n -1

VBA代码：

选项明确 Dim count As Long

Sub test()
    Dim i As Integer
    For i = 1 To 20
        count = 0
        f i
        Debug.Print i, count
    Next
End Sub

Function f(ByVal n As Long) As Long
    count = count + 1
    If n = 1 Then
        f = 1
    Else
        f = 1 + f(f(n - 1))
    End If
End Function

输出：

1   1
2   3
3   7
4   15
5   31
6   63
7   127
8   255
9   511
10  1023
11  2047
12  4095
13  8191
14  16383
15  32767
16  65535
17  131071
18  262143
19  524287
20  1048575

如何计算以下函数的时间复杂度？

2 个答案: