Question

我正在解决以下问题：

设A是长度为n的数组，每个元素-10n <= A [i] <= 10n。创建在O（nlog（n））时间运行的算法，该算法确定是否存在条目A [i]，A [j]和A [k]（i，j和k不一定是不同的），使得A [i] + A [j] + A [k] = 0。

我正以下列方式接近它。定义度数为n-1的多项式p，使得x ^ k项上的系数为A [k]。然后use the FFT to multiply p与其自身，然后再次将得到的多项式乘以p。如果结果多项式中的任何系数为0，则返回true。否则，返回false。由于FFT是O（nlog（n）），因此该算法为O（nlog（n））。

我遇到的问题是FFT结合了类似术语，可以这么说。因此，系数0的存在并不意味着存在这样的条目。

有人可以建议对此算法进行修改以改进它吗？

Answer 1

如果我没记错，解决这个问题的方法是：

定义度60n + 1的多项式，其中术语x^k上的系数是数组中元素k - 10n的出现次数。例如，如果n=8，x^5上的系数是-75（-75 = 5 - 10x8）的出现次数
使用FFT将该多项式（度60n + 1）提高到第三个幂。
查看x^(30n)上的系数是否为非零。如果是，那就是答案。

这是python上的示例实现，它似乎适用于我提出的所有案例：

import numpy as np
from numpy.fft import fft, ifft

def hasZeroSum(a):
    n = len(a)
    b = [0 for x in range(n * 60 + 1)]
    for el in a: b[el + 10 * n] += 1
    f = fft(b, n * 60 + 1)
    f = np.power(f, 3)
    res = ifft(f, n * 60 + 1)
    return np.absolute(res[n * 30]) > 0.5

print hasZeroSum([-11, -5, 2, 3, 7])
print hasZeroSum([-11, -5, 2, 4, 8])

打印

True
False

在O（nlogn）时间内找到数组求和的条目的算法

1 个答案: