Question

所以，这不是我的家庭工作问题，而是取自关于算法和数据结构（现已完成）课程的未分级作业。

给你一个n乘n个不同数字的网格。如果数字小于其所有邻居，则该数字是局部最小值。（一个数字的邻居是紧靠上方，下方，左侧或右侧的一个。大多数数字有四个邻居;侧面的数字有三个;四个角有两个。）使用分而治之的算法设计范式来计算局部最小值，只有O（ n ）数字对之间的比较。（注意：由于输入中有 n ²数字，因此您无法查看所有这些数字。提示：考虑哪种类型的重复会给您带来所需的数字上限。）

由于这些数字不是任何顺序，我不知道除了O（ n ²）之外，我们怎么能逃脱任何事情。

Answer 1

我们可以通过查看它可能出错的方式来调整像Jared的答案。

答案中的想法 - 这是一个很好的答案 - 是“滚下山”。这只是意味着，如果您在元素上，请检查它是否是局部最小值。如果是这样，你就完成了;否则，步入最近的邻居。最终这必须终止，因为每个步骤都是一个较小的元素，并且不能永久地在有限数组中继续。

这种方法的问题在于“滚动”可以遍布整个地方：

20 100 12  11 10 100  2
19 100 13 100  9 100  3
18 100 14 100  8 100  4
17  16 15 100  7   6  5

如果从左上方开始并“滚动下坡”，您将访问阵列中大约一半的元素。这太多了，所以我们不得不限制它。

首先检查中间列和中间行。找到所有这些中最小的元素并从那里开始。

从那里“向下滑”一步，进入四个象限中的一个。您将输入其中一个象限，因为中间列和/或行中的相邻元素较大，因此两个相邻象限中只有一个可能是“下坡”。

现在考虑如果你从那里“滚下山”会发生什么。显然，你最终会达到当地最低标准。（我们实际上不会这样做，因为它需要太长时间。）但是，在滚动的过程中，你永远不会离开那个象限......因为这样做，你将不得不跨越中间列或中间行，并且这些元素都不比您开始的位置小。因此，该象限在某处包含局部最小值。

因此，在线性时间内，我们确定了一个必须包含局部最小值的象限，并且我们将n减半。现在只是递归。

该算法需要时间2n + 2n / 2 + 2n / 4 + ...，等于4n，即O（n），所以我们完成了。

有趣的是，除了关键部分之外，我们根本没有使用“滚下坡”：证明算法有效。

[更新]

作为Incassator points out，这个答案并不完全正确，因为在你“只是递归”之后你可能会再次滚出象限......

最简单的解决方法是在“下坡”之前找到中间行，中间列，和边界中的最小元素。

Answer 2

Nemo接受的答案很好但不完全正确：

因此，在线性时间内，我们确定了一个必须包含局部最小值的象限，并且我们将n减半。现在只是递归。

我指的是＆＃34;只是递归＆＃34;位。问题是我们不能直接这样做，因为在下一次迭代中我们可能会找到一个局部最小值 not 原始网格的局部最小值（x下面表示一些任意大数字）：

 x  x 39  x  x 50  x  x  x  x  x
 x  x 38  x  x 49  x  x  x  x  x
37 36 33 34 35 48  x  x  x  x  x
 x  x 32  x  1 10  x  x  x  x  x
 x  x 31  x  x 47  x  x  x  x  x
46 45 30 44 43 60 51 52 53 54 55
 x  x  2  x  x 56  x  x  x  x  x
 x  x  x  x  x 57  x  x  x  x  x
 x  x  x  x  x 58  x  x  x  x  x
 x  x  x  x  x 59  x  x  x  x  x

在第一次迭代中，我们发现10是中间行和中间列的最小值。我们向左走（1小于10）。所以我们的下一次迭代是左上象限。但现在最小的中间行和列将是31（如果象限的边界被认为是其中的一部分，则为30）。然后，您将得出结论，这是当地的最低要求。但它不适用于整个电网。

我们可以通过各种方式纠正这一不幸的缺陷。我这样解决了：

在网格本身的每次迭代中，我们都会跟踪当前的最小候选（在第一次迭代后，这是上面示例中的1;在初始状态，我们可以说最小候选是加号无穷）。我们计算中间行和列的最小值并将其与最小候选者进行比较。如果后者较小，我们会进入包含最小候选的象限。否则我们会忘记先前的候选人，然后检查新的中间行/列最小值是否实际上是局部最小值。如果没有，那么像往常一样递归到我们向下倾斜的任何象限（并跟踪新的最小候选者）。

或者，您可以按照this presumably MIT lecture中的描述修改过程：在每次迭代时，不要查看中间行/列，您可以查看中间行/列和网格边界。然后算法再一次是正确的。

您可以选择自己喜欢的方式。

Answer 3

我认为这其实很容易。

将问题转换为3-D，以了解算法的工作原理。将矩阵放在桌子上。假装柱子延伸出每个单元格，并且柱子的高度与其值成正比。把球放在任何支柱上。让球始终落在最低海拔的相邻支柱上，直到达到局部最小值。

Answer 4

嗯，这就是你分裂和征服它的方式。

1）将n×n矩阵分成四个n / 2 x n / 2个子矩阵。

2）继续递归划分子矩阵，直到你得到一个2 x 2矩阵

3）检查2 x 2矩阵的任何元素是否为局部最小值。

递推方程为： T（n）= 4 * T（n / 2）+ O（1）

4 * T（n / 2）用于4 n / 2 x n / 2个子矩阵，O（1）用于检查2 x 2子矩阵是否具有局部最小值

Master定理说这是 O（n ^ 2）最坏情况下的界限。

但我认为我们可以得到一个最好的案例 O（n）绑定，

（“RED ALERT！---最好的案例是BOGUS，只是BOGUS ---红色警告！”。

如果我们在步骤3中找到局部最小值后退出递归堆栈。

伪代码：

private void FindlocalMin(matrix,rowIndex,colIndex,width){
    if(width == 1){ checkForLocalMinimum(matrix,rowIndex,colIndex); return;} //2x2 matrix
    FindlocalMin(matrix,rowIndex,colIndex,width/2);  
    FindlocalMin(matrix, (rowIndex + (width/2) + 1) ,colIndex,width/2);
    FindlocalMin(matrix,rowIndex, (colIndex + (width/2) + 1) ,width/2);
    FindlocalMin(matrix,(rowIndex + (width/2) + 1), (colIndex + (width/2) + 1) ,width/2);
}

private void checkForLocalMinimum(.........){
    if(found Local Minimum in 2x2 matrix){ exit recursion stack;} 
}

这是java implementation

Answer 5

代码适用于3 * 3或更高的矩阵，根据算法第4版练习练习开发。

它的工作方式如下

查找给定矩阵的中间行并找出最小值
了解上下元素的最小值，以确保它是本地最小值
如果不限制搜索矩阵
1. 行：选择行的半边，其中元素小于中间行的元素。
2. colmun：选择找到该行中最小值的索引。
重复步骤1-3

public class MinimumOfMatrix {

private static int findLocalMinimum(int[][] matrix, int rowStart, int rowEnd, int colStart, int colEnd) {

    int midRow = (rowStart + rowEnd) / 2;
    int minPos = findMin(matrix, midRow, colStart, colEnd);

    if (minPos >= (colStart + colEnd) / 2)
        colStart = (colStart + colEnd) / 2;
    else
        colEnd = (colStart + colEnd) / 2;

    if (matrix[midRow][minPos] < matrix[midRow + 1][minPos]
            && matrix[midRow][minPos] < matrix[midRow - 1][minPos]) {
        return matrix[midRow][minPos];
    } else if (matrix[midRow][minPos] > matrix[midRow + 1][minPos]) {
        return findLocalMinimum(matrix, midRow, rowEnd, colStart, colEnd);
    } else {
        return findLocalMinimum(matrix, rowStart, midRow, colStart, colEnd);
    }

}

private static int findMin(int[][] matrix, int midRow, int colStart, int colEnd) {
    int min = Integer.MAX_VALUE;
    int pos = -1;

    for (int i = colStart; i < colEnd; i++) {
        if (matrix[midRow][i] < min) {
            min = matrix[midRow][i];
            pos = i;
        }

    }

    return pos;
}

public static void main(String[] args) {
    // Best Case
    /*
     * int[][] matrix= { {1,-2,4,-6,1,8}, {-3,-6,-8,8,1,3}, {1,2,6,-2,-8,-6},
     * {-2,9,6,3,0,9}, {9,-1,-7,1,2,-6}, {-9,0,8,7,-6,9} };
     */

    // Two Iteration Down Case
    /*
     * int[][] matrix= { { 1,-2, 4,-6, 1, 8}, {-3,-6,-8, 8, 1, 3}, { 1, 2, 6, 9, 0,
     * 6}, {-2, 9, 6,-1,-1, 9}, { 9,-1,-7, 1, 2,-6}, {-9, 0, 8, 7,-6, 9} };
     */

    /*
     * //Left Down Case int[][] matrix= { { 1,-2, 4,-6, 0, 8}, {-3,-6,-8, 8,-2, 3},
     * {-2, 9, 6,-1, 1, 9}, { 1, 0, 6, 9, 2, 6}, { 9,-1,-7, 1, 2,-6}, {-9, 0, 8,
     * 7,-6, 9} };
     */

    int[][] matrix = { { 1, -2, 4, }, { -3, -6, -8, }, { -2, 9, 6, }

    };

    System.out.println(findLocalMinimum(matrix, 0, matrix.length, 0, matrix.length));

}

}

在O（n）时间内找到n x n矩阵中的局部最小值

5 个答案: