遍历所需边缘列表的最短路径

Question

我有一个有向图，如下所示：

我想找到从开始到结束最便宜的路径，其中橙色虚线都是路径有效所必需的。

自然最短路径为：开始 - ＆gt; A - ＆gt; B - ＆gt;结束，结果成本= 5，但我们尚未满足所有必需的边访问。

我想找到的路径（通过一般解决方案）是开始 - ＆gt; A - ＆gt; B - ＆gt; C - ＆gt; D - ＆gt; B - ＆gt;结束，其中费用= 7，我们已满足所有必需的边访问。

有没有人对如何要求这样的边缘遍历有任何想法？

Answer 1

让 R 成为所需边的集合， F = | R |。设 G 为输入图， t （resp。 s ）请求路径的起始（resp。结束）点。

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预处理：一堆Dijkstra算法运行......

第一步是创建另一个图表。该图将具有完全 F +2顶点：

• R
中每个边缘一个
• 一个用于您要计算的路径的起点 t
• 一个用于您要计算的路径的 s 的结束点

要创建此图表，您必须执行以下操作：

1. 从 G 中删除 R 中的每个边缘。
2. 对于 R 中的每个边 E =（ b，e ）：
   1. 计算从 t 到 b 的最短路径以及从 e 到 s 的最短路径。如果存在，请在“新图表”中添加将 s 链接到 E 的边缘，称量相关最短路径的长度。
   2. 对于 R \ { E }中的每个边 E' =（ b'，e'） ：
      1. 计算从 e 到 b'的最短路径。如果存在，请在新图表中将 E 的边添加到 E'，然后称量该最短路径的长度。将计算出的路径作为有效负载附加到相关边缘。
      2. 将计算出的路径作为有效负载附加到该边缘

构建此图表的复杂性为 O（（F + 2）²。（E + V）.log（V））其中 E （ resp。 V ）是原始图表中的边数（相应的顶点）。

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彻底搜索最佳路径

从这一点来说，我们必须在新创建的图中找到最短的哈密尔顿路径。不幸的是，这项任务是一个难题。我们没有比探索每条可能的道路更好的方法。但这并不意味着我们不能巧妙地做到这一点。

我们将使用回溯执行搜索。我们可以通过维护两组来实现这一目标：

• 当前探索的顶点列表： K （ K 已知）
• 当前未知顶点的列表： U （ U U ）

在深入研究算法定义之前，这里有一些主要的想法。除了在新图中探索可能路径的整个空间之外，我们无能为力。在每一步，我们都必须做出决定：我们接下来要采取哪些方面？这导致一系列决定，直到我们不再移动或我们到达 s 。但现在我们需要回过头来取消决定，看看我们是否可以通过改变方向做得更好。要取消决定，我们会这样做：

• 每当我们被困（或找到路径）时，我们取消我们做出的最后决定
• 每次我们在某个时候做出决定时，我们会记录哪个决定，所以当我们回到这一点时，我们知道不会采取同样的决定并探索其他可用的决定。
• 我们可能因为：
  • 我们找到了一条路。
  • 我们无法进一步移动（没有我们可以探索的边缘，或者我们唯一可以采取的边缘会增加当前的部分路径 - 它的长度会高于当前最佳路径的长度）。

最终算法可以用这种方式总结:(我给出了一个迭代实现，可以找到一个更简单，更清晰的递归实现）

让K←[]，L[0..R+1]←[]和U←V（其中V是工作图中每个顶点的集合减去开始和结束顶点 t 和 s ）。最后让l←i←0和best_path_length←∞和best_path←[]

虽然（i≥0）：

1. U≠[]
   1. c←U.popFront()（我们采取U的头）
   2. L[i].pushBack(c)
   3. 如果i == R+1 AND（l ==权重（cur_path.back()， s ）+ l）＆lt; best_path_length：
      1. best_path_length←l
      2. best_path←cur_path
   4. 如果K.tail()和c之间存在边缘e，weight(e) + l＆lt; best_path_length K :(如果K.tail()为空，则在前一个语句中将K.pushBack(c)替换为 t ）
      1. i
      2. i←l + 1
      3. weight(e)←l + cur_path.pushBack(c)
      4. L[i]
2. 在U
末尾连接L[i]
3. []←i
4. i←cur_path.popBack() - 1
5. while (i ≥ 0)

在while循环（best_path）结束时，{{1}}将保留最佳路径（在新图中）。从那里你只需要获得边缘的有效负载来重建原始图形中的路径。