Question

我想找到直线（无限）之间的所有交点。我尝试改变Bentley-Ottmann算法，该算法适用于一组线段，但我不知道如何正确表示无限直线。第一个想法是确定模拟每条线的起点和终点的边界点，但我认为这是不正确的解决方案（如何找到＆＃34;无限＆＃34;点？）。下一个想法是使用方程来表示直线，但我不知道我是否可以使用Bentley-Ottmann算法（如何订购线路并添加事件来安排？）。还有什么我可能需要使用除法来检测两条线的交点（同时求解一组方程）。我想避免它。

你能给我一些建议吗？

非常感谢

Answer 1

假设您在二维欧几里得空间中这样做，那么您的问题就会过度膨胀。高中生会告诉你线条可以用等式表示：

y = m*x + b

但它不能代表垂直线。您可以使用更通用的等式（请参阅MathWorld）：

a*x + b*y = c

在二维欧几里德空间中，有两条线：

有一个共同点;或
没有共同点：它们彼此平行;或
有无数个共同点：它们是同一条线。

前两个案例是一个方程式求解。如果出现以下情况，则第三种情况属实：

a1/a2 == b1/b2

（当然，您需要处理a2 = 0或b2 = 0）

的情况

Answer 2

忘记Bentley Ottman。它的聪明之处在于处理你没有的行段。

如果线是无限的，那么非平行线的每对将只有一个交点。因此，如果{L1，L2，... Ln}是所有行的集合，则算法为：

for Li, i = 1, 2, ... n-1
  for Lj, j = i+1, ... n
    if Li parallel to Lj, output <i, j, PARALLEL> 
    else output <i, j, intersection(Li, Lj)>

如果有用的话，您可以单独检查重合的平行线。

存储任意行的最强大的方法是（如前所述）系数三元组：

<A, B, C>

这样Ax + By + C = 0.标准化的方便和好的做法是A ^ 2 + B ^ 2 = 1.现在[A，B]是该线的法线单位。通过一些矢量数学，很容易看出两条线g和h的交点P由一个简单的交叉乘积给出：

P = [x/w, y/w], where [x,y,w] = [Ag, Bg, Cg] X [Ah, Bh, Ch]

请注意，对于并行（包括重合）行，您将获得w = 0，因此除法将按您的预期失败。您可以使用非常小的绝对w值来检测上面的并行情况。这是使[A，B]标准化的一个原因。它使这个测试与规模无关。

找到直线之间交点的算法

2 个答案: