找到多边形和水平线之间的交叉点

Question

我有一个多边形和一个给定的点。我需要在多边形上找到与给定点具有相同Y坐标的点。请参阅附件：给定点是红点，蓝点是我要寻找的点（与给定点具有相同Y的点）。

此时，我知道要通过遍历多边形部分来解决它，并检查给定的点Y值是否在该部分内进行中继。在找到包含的部分之后，我只是运行一个简单的等式来找到交叉点。然而！我希望找到一种更好，更简单的方法来解决它，也许是现有的公式？

谢谢！

Answer 1

以下解决方案使用O(n log n)时间进行预处理，每个查询使用O((log n)^2 + cnt)，其中cnt是多个交叉点。它适用于任何多边形。

1）预处理：将每个段存储为一对(low_y, high_y)。按low_y排序。现在可以构建二维分段树，其中第一个维度为low_y，第二个维度为high_y。如果正确完成，可能需要O(n log n)空间和时间（可以为每个包含那些{1}}值的vector值保留已排序的high_y high_y个值low_y <= query_y <= high_y对应于这个特定的节点）。

2）查询：它可以通过以下方式重新表述：找到满足[min(low_y), query_y]条件的所有这些段（即，对）。要查找所有此类段，可以遍历段树并将范围O(log n)分解为最多high_y个节点的并集（此处仅考虑第一个维度）。对于固定节点，可以对已排序的vector low_y <= query_y <= high_y应用二进制搜索，以仅提取满足high_y条件的那些段（由于树的方式，第一个不等式为真遍历，所以我们只需要检查O(log n)。这里我们有O(log n)个节点（由于段树的属性），二进制搜索需要O((log n)^2时间。因此，此步骤的时间复杂度为high_y。在使用二分搜索找到最小vector之后，很明显O(cnt)的尾部（从此位置到末尾）包含那些并且仅包含与查询行相交的那些段。因此，人们可以简单地迭代它们并找到交叉点。此步骤需要cnt时间，因为当且仅当它与行（O((log n)^2 + cnt) - 与行和多边形之间的交叉点的总数量相交）时才会检查该段。因此，整个查询的时间复杂度为{{1}}。

3）这里实际上至少有两个角落情况：
i）交叉点是两个相邻多边形部分的公共点，而ii）是一个水平部分，所以它们应该根据它们的期望输出小心处理（例如，可以完全忽略水平边缘或假设整个边缘是交叉点）。

Answer 2

我认为允许预处理。

首先在单调链中分解多边形：依次考虑所有边并链接所有沿相同方向（向上或向下）的方向。你可以忽略水平边。

如果你真的那么，最多会有两个链（凸多边形总是两个），最差的N-1或N（取决于N上的奇偶校验）不走运。平均四个左右。

请注意，链中的顶点是通过增加或减少Y（排序＆＃34;免费＆＃34;）来排序的。

现在，对于给定的测试点，请在Y上通过二分法找到它，例如在Yi和Yi+1之间。然后交叉点由X = Xi + (Y - Yi).(Xi+1 - Xi) / (Yi+1 - Yi)给出。

此过程需要O(N)预处理时间，最差O(N)存储;查询时间为O(K.LgL)，其中K是链的数量，LgL是链长的平均对数。

这不是最佳的，也不是各向同性的，但是编程非常简单并且开销很小。