Question

我在确定下面给出的2个递归关系之间的关系时遇到了一些麻烦。

f(0) = 1  
f(1) = 1  
f(2) = 2  
f(2n) = f(n) + f(n + 1) + n          (for n > 1)  
f(2n + 1) = f(n - 1) + f(n) + 1      (for n >= 1)

所以这个系列就像:(索引：0,1,2,3 ...... n）
1,1,2,3,7,4,13,6,15,11,22,12,25,18,28,20,34 ......

目标是找到系列中任何给定数字出现的索引例如：
鉴于：7
输出：4即f（4）= 7

此外，由于可能在给定序列中出现多次，因此返回上次该数字。
例如：
鉴于：22
这里，f（10）= 22和f（17）= 22
所以，输出：17

从python代码 - 我发现一个数字最多发生两次（虽然不是100％肯定..）。

我的代码可以找到系列中的第n个数字：

memo = {} def rep(k): if k<=1: return 1 if k == 2: return 2 if not k in memo: if k%2==0: memo[k] = (k/2) + rep((k/2)+1) + rep(k/2) else: memo[k] = 1 + rep(((k-1)/2)-1) + rep((k-1)/2) value_key[memo[k]] = k return memo[k]

我使用memo来散列我已经生成的值，但是使用这种方法生成并尝试从0开始的数字，直到我得到一个等于给定数字的值（简单的暴力）需要永远，并导致MemoryErrors更大的数字（输入将从1到20位数。）

那么，我失踪的给定方程之间是否存在任何关系？如果我能找到f(n)（给定输入）和n之间的关系 - 我认为它可以很容易地在代码中实现，但我无法用数学方式简化它 - 我尝试过替换一个接一个（给定的复发关系），但到目前为止，我无法弄清楚任何事情。

Answer 1

编辑：

现在使用二进制搜索最接近的值以及memoization，需要测试，但这个想法很简单。这仍然依赖于even和odd正在增加序列的事实。

#!/usr/bin/env python

# inspired by your code
memo = {'even': {0: 1, 2: 2}, 'odd': {1: 1}}


def f(k):
    if k in memo['even']:
        return memo['even'][k]
    if k in memo['odd']:
        return memo['odd'][k]
    else:
        if k % 2 == 0:
            memo['even'][k] = (k / 2) + f((k / 2) + 1) + f(k / 2)
        else:
            memo['odd'][k] = 1 + f(((k - 1) / 2) - 1) + f((k - 1) / 2)
    return f(k)

# binary search on even values
def seek_even(x):
    left = 0
    right = f(x)
    if right % 2 != 0:
        right += 1
    middle = (right - left) / 2
    if middle % 2 != 0:
        middle += 1
    while f(middle) != x and left < middle < right:
        if f(middle) < x:
            left = middle
        else:
            right = middle
        middle = (left + right) / 2
        if middle % 2 != 0:
            middle += 1
    return middle

# binary search on odd values
def seek_odd(x):
    left = 1
    right = x
    if right % 2 == 0:
        right += 1
    middle = (right - left) / 2
    if middle % 2 == 0:
        middle += 1
    while f(middle) != x and left < middle < right:

        if f(middle) < x:
            left = middle
        else:
            right = middle
        middle = (left + right) / 2
        if middle % 2 == 0:
            middle += 1
    return middle


def seek(x):
    indices = [seek_even(x), seek_odd(x)]
    print "closest indices: " % indices
    return max(filter(lambda c: f(c) == x, indices) + [-1])

tests = [264227, 22, 10, 100000000000000000000, 31]
for i in tests:
    print "seek range [0, %d] for %d" % (f(i), i), seek(i)

2递归方程 - 寻找指数

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