Question

根据操作次数，找出递归关系！

a = N;
var = 0;
while (a > 1) 
{
var = var + a; 
num = 2 * var; 
a = a / 2;
}

我认为将形成的重现关系是:(分配操作不计算在内）

T(n)= (from a=1 to N)Σ(3)

我是对的吗？

现在使用这种递归关系，如何找到它的复杂性。

Answer 1

你想要做的是找出这个操作被调用多少次，所以考虑一下：每次调用后a除以2，所以如果M = N / 2则T（M）= T（N） - 1

现在，此循环的每次迭代再次划分N，以便您获得以下内容：

T(N) = T(N/2) + 1 = ... = k + T(N/(2^k))

停止条件为：a>1因此您需要检查何时N/(2^k) <= 1

N/2^k = 1 -> log (n) = k

所以T(N) = log(n) + T(1) = log(n)

这是“大O”符号的答案。

Answer 2

经验方法：

首先通过简化代码来减少代码中的“教育噪音”并添加迭代计数器（c）。然后查看结果（N，计数），经过一段时间后，您会看到[^ 1,2,4,8,16，...]中所有N的2 ^ count = N.

因此复杂性Compl（loop）= O（log_2（N））。

let rec loop a c = 
    match a with
    | x when x > 1 -> 
        let a1 = a / 2
        loop a1 (c+1)
    | _ -> (a,c)

// after staring at the result of the computation we came up with this theory:
let theory n = int (System.Math.Log10(float n) / System.Math.Log10(2.0))

[1..64] 
|> List.map (fun a -> a,loop a 0, theory a) 
|> List.map (fun (a0,(a,c),aa) -> a0,c,aa)

数据：

[（1,0,0）; （2,1,1）; （3,1,1）; （4,2,2）; （5,2,2）; （6,2,2）; （7,2,2）; （8,3,3）; （9,3,3）; （10,3,3）; （11,3,3）; （12,3,3）; （13,3,3）; （14,3,3）; （15,3,3）; （16,4,4）; （17,1,4）; （18,4,4）; （19,4,4）; （20,4,4）; （21,4,4）; （22,4,4）; （23,4,4）; （24,4,4）; （25,4,4）; （26,4,4）; （27,4,4）; （28,4,4）; （29,4,4）; （30,4,4）; （31,4,4）; （32,5,5）; （33,5,5）; （34,5,5）; （35,5,5）; （36,5,5）; （37,5,5）; （38,5,5）; （39,5,5）; （40,5,5）; （41,5,5）; （42,5,5）; （43,4,5）; （44,4,5）; （45,5,5）; （46,5,5）; （47,5,5）; （48,5,5）; （49,5,5）; （50,5,5）; （51,5,5）; （52,5,5）; （53,5,5）; （54,5,5）; （55,5,5）; （56,5,5）; （57,5,5）; （58,5,5）; （59,5,5）; （60,5,5）; （61,5,5）; （62,5,5）; （63,5,5）; （64,6,6）]

Answer 3

重现关系是：

T(1) = a
T(n) = b + T(n/2)

第一部分来自循环变量等于1的情况，在这种情况下，只执行循环顶部的比较。第二行来自循环体中完成的恒定工作量b，加上使用更新的循环变量值执行循环的时间。

前几个词是：

n   T
1   a
2   a + b
4   a + 2b
8   a + 3b

基于此，我们可以猜出一般形式：

T(n) = a + b log n

证明这是一项运动;但你可以将其插入到递归关系中，看它是否满足要求。

渐近复杂度是对数的。

寻找递归关系和复杂性

3 个答案: