我正在阅读M.Mitzenmacher和E.Upfal的“Probability and Computing”。我在理解如何计算两个元素的比较概率时遇到了问题。
输入：数字的排序列表（y1，y2，...，yN）。我们正在寻找枢轴元素（随机）。问题：将比较两个元素yi和yj（j> i）的概率是多少？
答案（来自书）： yi和yj将被比较，如果yi或yj将被选为第一次从序列中绘制的枢轴（yi，yi + 1，...，yj- 1，YJ）。所以可能性是：2 /（j-i + 1）。
对我来说问题是最初的主张：例如，在整个列表的第一次抽奖中拾取yi将导致与yj的比较（反之亦然），概率为2 / n。
所以，相反“反向”声明是正确的 - 在yi或yj之前不能选择（yi + 1，...，yj-1）元素，但“池”大小不固定（在第一次抽奖时肯定是N，但在第二次抽奖时它更小。）
有人可以解释一下作者如何得出如此简单的结论吗？
Edit1：一些好心灵打磨了我的帖子，谢谢你： - ）。
Edit2：列表最初排序。
答案 0 :(得分：4)
Quicksort通过将每个元素与枢轴进行比较来工作：大于枢轴的那些元素放置在枢轴的右侧，而那些不大于左侧的元素（或者如果你想要降序排序则相反，它没有'重要）。
在每一步中，枢轴都从序列(yi, yi+1, ..., yj)中选择。这个序列中有多少个元素？ j - i + 1（我认为你有一个错字，它不能是y - i + 1）。
因此，从该列表中选择两个特定元素之一的概率显然是2 / (j - i + 1)。
对我来说问题是最初的主张：例如，在整个列表的第一次抽奖中拾取yi将导致与yj的比较（反之亦然），概率为2 / n。
挑选yi会使其仅与其他j - i元素进行比较。你从哪里得到n？请注意，您的列表仅从yi到yj！
修改：
再次阅读这个问题，我发现它有点含糊不清。正如您所说，在递归的第一步比较两个元素的概率确实是2 / n，因为i和j是1和n。在未知的递归步骤中比较两个元素的概率就是我在上面解释过的。
答案 1 :(得分：2)
作者给出的答案是正确的，尽管我仍然没有看到他们如何轻松快速地得出结论。
用L = j-i + 1表示。这里j和i的实际值无关紧要，重要的是L。让我们用P（N，L）来表示从大小为N的有序序列中比较yi和yj元素的概率。
事实：
这个总和看起来很难看，但经过两次测试后，似乎P（N，L）可能等于2 / L.我们来看看：
由于L = j-i + 1，我们得到2 /（j-i + 1）。