Question

我正在阅读Algorithms Illuminated: Part 1，问题5.3指出：

让⍺是一些常数，与输入数组长度n无关，严格在0到1/2之间。假设您达到了大约每个preceding problem中的均衡拆分递归调用-因此，只要给递归调用一个数组长度为k的两个递归调用中的每个传递给子数组 ⍺k和（1-⍺）k之间的长度。连续多少次递归调用触发基本案例之前会发生什么？等效地，哪个级别算法的递归树中可以包含叶子？表达你的回答一个可能的数字d范围，从最小值到可能需要的最大递归调用数。 [提示：将对数函数与不同底数相关联的公式是log n = ln n]

答案选择：

-log（n）/ log（⍺）<= d <= -log（n）/ log（1-⍺）

0 <= d <= -log（n）/ log（⍺）

-log（n）/ log（1-⍺）<= d <= -log（n）/ log（⍺）

-log（n）/ log（1-2⍺）<= d <= -log（n）/ log（1-⍺）

我的分析

如果⍺<1/2，则1-⍺>⍺，因此子数组长度为（1-⍺）n的分支将具有更大的递归深度。

n / (1 - ⍺)^d = 1
Taking log[base(1 - ⍺)] on both sides
log[base(1 - ⍺)](n) = d
By log rule
d = log(n)/log(1 - ⍺)

最好的情况应该是log(n)/log(⍺)，因此答案1似乎是正确的。但是，我对减号感到困惑。我不明白递归树的高度如何为负数。另外，我希望有人验证我的分析，如上所示。

有什么想法吗？

Answer 1

您的分析有一个小错误。

正确的等式应为n * (1 - ⍺) ^ d = 1，而不是n / (1 - ⍺) ^ d = 1。这会添加您要查找的负号。

请记住，⍺和(1 - ⍺)都小于1。因此，对数为负。在其上再添加一个负号会导致最小和最大深度的整体正值。

随机快速排序递归深度

1 个答案: