Question

作为递归深度，在QuickSort达到基本情况之前连续递归调用的最大数量，并注意到它（递归深度）是一个随机变量，因为它取决于所选的枢轴。

我想要的是估计QuickSort的最小可能和最大可能的递归深度。

以下过程描述了正常实施QuickSort的方式：

QUICKSORT(A,p,r)
    if p<r
        q ← PARTITION(A,p,r)
        QUICKSORT(A,p,q−1)
        QUICKSORT(A,q+1,r)
    return A

PARTITION(A,p,r)
    x←A[r]
    i←p−1
    for j ←p to r−1
        if A[j] ≤ x
            i ← i +1
            exchange A[i] ↔ A[j]
    exchange A[i +1] ↔ A[r]
    return i +1

QuickSort中的第二次递归调用并不是必需的;通过使用迭代控制结构可以避免它。这种技术也称为尾递归，它可以像：

一样实现

QUICKSORT_tail(A,p,r)
    while p<r
        q ← PARTITION(A,p,r)
        QUICKSORT(A,p,q−1)
        p ← q+1
    return A

在此版本中，最近一次通话的信息位于堆栈顶部，初始通话的信息位于底部。调用过程时，其信息被压入堆栈;当它终止时，会弹出其信息。由于我假设数组参数由指针表示，因此堆栈上每个过程调用的信息都需要O（1）堆栈空间。我也相信这个版本的最大可能堆栈空间应该是θ（n）。

因此，在完成所有这些之后，我如何估计每个QuickSort版本的最小可能和最大可能的递归深度？我在上述推论中是对的吗？

提前致谢。

Answer 1

<强>最差情况下的

当分区例程产生一个带有n-1个元素的子问题和一个带有0个元素的子问题时，会出现quicksort的最坏情况行为。分区成本为θ（n）时间。如果在算法的每个递归级别上分区最大程度地不平衡，则树的深度为n，最坏的情况是θ（n）快速排序θ（n ^ 2）的最坏情况行为，如您所见在最坏的情况下，相应的递归树的最后一级是θ（n）。

<强>最好的情况

在最可能的分割中，PARTITION产生两个子问题，每个子问题尺寸不超过n = 2，因为一个尺寸为底板（n / 2），另一个尺寸为底板（n / 2）-1。在这种情况下，quicksort运行得更快。在这种情况下的递归树就是所谓的完整二叉树。它可以在最后一级h，尽可能地保留1到2h节点，然后h = log n，然后是quicksortθ（nlog n）的最佳情况行为，并且如您所见，在最佳情况下相应递归树的最后一级的数字是θ（log n）。

<强>结论

最小值：θ（log（n））

最大值：θ（n）

Answer 2

这在很大程度上取决于您如何编码算法。通常，只有较小的部分是通过递归调用完成的，较大的部分是通过同一个化身内的迭代完成的。使用这种方法，最大深度为log2（N），最小深度为1。

在每个步骤中，较小的部分最多可以是范围的一半。因此，在最坏的情况下，您需要log2（N）步骤才能达到1的大小。

另一个极端是较小的部分始终只有一个。在这种情况下，不需要递归调用。

QuickSort对递归深度的估计

2 个答案: