给定一组点，找出三个点中的任何一个是否共线

Question

如果任何三个点在一组点中共线，那么找出最佳算法是什么？如果不是微不足道，请解释复杂性。

感谢
巴拉

Answer 1

如果你能想出一个比O（N ^ 2）更好的算法，你可以发布它！

这个问题是3-SUM Hard，并且对于它是否存在亚二次算法（即，优于O（N ^ 2））是一个开放的问题。许多常见的计算几何问题（包括你的问题）已被证明是3SUM很难，而且这类问题正在增长。与NP-Hardness一样，3SUM-Hardness的概念已被证明可用于证明某些问题的“韧性”。

如果您的问题难以证明3SUM，请参阅此处的优秀评论文章：http://www.cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf

您的问题出现在上面提到的论文中的第3页（通常称为3点在线）。

所以，目前最着名的算法是O（N ^ 2），你已经拥有它了： - ）

Answer 2

一个简单的O（d * N ^ 2）时间和空间算法，其中d是维数，N是点数（可能不是最优）：

• 围绕这组点创建一个边界框（使其足够大，以便边界上没有点）
• 对于每对点，计算通过它们的线。
• 对于每一行，使用边界框计算其两个碰撞点。
• 两个碰撞点定义原始线，因此如果有任何匹配线，它们也会产生相同的两个碰撞点。
• 使用哈希集来确定是否存在任何重复的碰撞点对。
• 当且仅当存在重复时，才有3个共线点。

Answer 3

另一个不使用哈希表的简单（可能甚至是微不足道的）解决方案在O（n ² log n）时间内运行，并使用O（n）空间：

让S成为一组点，我们将描述一种算法，该算法可以确定S是否包含三个共线点。

1. 对o中的每个点S执行：
   1. 将L行与x - 轴平行并通过o。
   2. 用其反射替换S下方L中的每个点。 （例如，如果L是x轴，(a,-x)的{​​{1}}将在反映后变为x>0。让新的点集为(a,x)
   3. S'中每个点p的角度是段S'与线po的直角。让我们按角度对L点进行排序。
   4. 浏览S'中的已排序点。如果有两个与S'共线的连续点 - 返回true。
2. 如果在循环中没有找到共线点 - 返回false。

循环运行o次，每次迭代执行n步。不难证明，如果一条线上有三个点，它们就会找到，否则我们什么也找不到。