段树时间复杂度分析

Question

我们如何证明段树（http://letuskode.blogspot.in/2013/01/segtrees.html）上的update和query操作（不要与间隔树混淆）是O(log n)？< / p>

我想到了一种这样的方式 - 在每个节点，我们在左右子树上最多进行两次递归调用。如果我们能够证明其中一个呼叫相当快地终止，那么时间复杂度将以对数为界。但是我们如何证明这一点？

Answer 1

引理：树的每个级别最多使用2个节点（一个级别是与根目录固定距离的节点集）。
证明：我们假设在h级别使用了至少3个节点（让他们称之为L，M和R）。这意味着从L节点的左边界到R节点的右边界的整个间隔位于查询范围内。这就是为什么M完全由一个节点（让我们称之为UP）从完全位于查询范围内的h - 1级别覆盖的原因。但这意味着根本无法访问M，因为遍历将在UP节点或更高节点停止。以下是一些图片，以澄清证明的这一步骤：

 h - 1:  UP          UP        UP
         /\          /\        /\
 h:     L  M R    L M  R    L  M   R

这就是为什么每个级别最多使用两个节点的原因。段树中只有log N个级别，因此总共使用2 * log N个{{1}}级别。

Answer 2

除了最后一句，克拉斯克维奇的回答是正确的。据他介绍，对于T(l, r)和n = l - r，最多可以使用2 * log n个节点。如果是，对于T(1, 17)，可以使用8个节点，但真正的答案实际上是6.答案应该是2 * log n - 2，因为他假设我们可以使用1级的两个节点。在这种情况下，我们需要获取根而不是1级节点。此外，我们无法获得这两个节点中的任何一个，因为这意味着在更高级别中没有使用节点。对于级别1的T(1, 17)，[1, 9)和[9-17]个节点。如果我们使用[1, 9)，我们会丢弃此节点的子节点，这些节点位于提供最大使用量。

Answer 3

声称最多有22个节点在每个级别进行扩展。我们将通过矛盾来证明这一点。 考虑下面给出的分段树。

假设有3个节点在此树中展开。这意味着范围是从最左边的彩色节点到最右边的彩色节点。但请注意，如果范围扩展到最右边的节点，则覆盖中间节点的整个范围。因此，此节点将立即返回该值，并且不会展开。因此，我们证明在每个级别，我们最多扩展22个节点，并且因为有lognlog⁡n级别，所以扩展的节点是2⋅logn=Θ（logn）

Answer 4

如果我们证明每个级别上最多可以访问N个节点，并且知道二进制段树具有最大logN高度-我们可以说查询操作具有O（LogN）复杂度。其他答案告诉您，每个级别上最多可以访问2个节点，但是我假设最多可以访问4个节点，可以访问4个节点。您可以在Geek for Geeks

等其他来源中找到未经证明的同一条语句

其他答案显示您的细分树太小。考虑以下示例：叶节点大小为16的段树，索引从零开始。您正在寻找范围[0-14] 参见示例：交叉的是我们正在访问的节点  

Answer 5

在树的每个层（L）处最多有2个节点，这些节点可能有部分重叠。 （如果无法证明-为什么？，请提及）

因此，在（L + 1）级，我们必须探索最多4个节点。树中的总高度/级别为O（log（N））（其中N为节点数）。因此，时间复杂度为O（4 * Log（N））〜O（Log（N））。

PS：请参阅@Oleksandr Papchenko附带的图表，以更好地理解

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