Question

我在理解分段树复杂性方面遇到了问题。很明显，如果你有更新功能只需要改变一个节点，它的复杂性将是log（n）。但我不知道为什么查询（a，b）的复杂性，其中（a，b）是需要检查的区间，是log（n）。有人能为我提供直观/正式的证据来理解这一点吗？

Answer 1

查询间隔（x，y）

时有四种情况

FIND(R,x,y) //R is the node
% Case 1
    if R.first = x and R.last = y   
        return {R}
% Case 2
    if y <= R.middle
        return FIND(R.leftChild, x, y) 
% Case 3
    if x >= R.middle + 1 
        return FIND(R.rightChild, x, y) 
% Case 4
    P = FIND(R.leftChild, x, R.middle)
    Q = FIND(R.rightChild, R.middle + 1, y)    
    return P union Q.

直观地说，前三种情况将树高级别降低1，因为树有高度log n，如果只发生前三种情况，则运行时间为O（log n）。

对于最后一种情况，FIND（）将问题分成两个子问题。但是，我们声称这最多只能发生一次。在我们调用FIND（R.leftChild，x，R.middle）之后，我们查询了R.leftChild的区间[x，R.middle]。 R.middle与R.leftChild.last相同。如果x> R.leftChild.middle，然后是案例1;如果x＆lt; = R.leftChild，那么我们将调用

FIND ( R.leftChild.leftChild, x, R.leftChild.middle );
FIND ( R.leftChild.rightChild, R.leftChild.middle + 1, , R.leftChild.last );

但是，第二个FIND（）返回R.leftChild.rightChild.sum，因此需要花费一些时间，问题不会分成两个子问题（严格来说，问题是分开的，尽管一个子问题需要O（1））时间解决）。

由于同样的分析适用于R的rightChild，我们得出结论，在case4第一次发生后，运行时间T（h）（h是树的剩余级别）将是

T(h) <= T(h-1) + c (c is a constant)
T(1) = c

产生：

T(h) <= c * h = O(h) = O(log n) (since h is the height of the tree)

因此我们结束了证据。

这是我第一次做出贡献，因此如果有任何问题，请将它们指出，我会编辑我的答案。

Answer 2

使用段树的范围查询基本上涉及从根节点进行递归。您可以将整个递归过程视为对段树的遍历：任何时候在子节点上需要递归时，您都在遍历中访问该子节点。因此，分析范围查询的复杂性等同于找到所访问节点总数的上限。

事实证明，在任何任意级别上，最多可以访问4个节点。由于段树的高度为log（n），并且在任何级别上最多可以访问4个节点，因此上限实际上是4 * log（n）。因此，时间复杂度为O（log（n））。

现在我们可以用归纳法证明这一点。基本案例位于根节点所在的第一级。由于根节点最多有两个子节点，因此我们最多只能访问这两个子节点，即最多4个节点。

现在，假设在任意级别（例如i级）访问的节点最多为4个，这是事实。我们想表明，我们还将访问下一个级别（i + 1级别）的最多4个节点。如果我们仅在第i层访问了1或2个节点，那么证明在第i + 1层我们将最多访问4个节点是微不足道的，因为每个节点最多可以有2个子节点。

因此，让我们集中在假设在i层访问了3或4个节点的尝试，并尝试证明在i + 1层上，我们最多也可以有4个访问的节点。现在，由于范围查询要求一个连续范围，我们知道在级别i访问的3或4个节点可以分为3个节点分区：最左边的单个节点，其分段范围仅部分查询范围所覆盖的是最右边的单个节点，其段范围仅部分地被查询范围所覆盖； 1个或2个中间节点，其段范围完全被查询范围所覆盖。由于中间节点的段范围完全被查询范围覆盖，因此在下一级别将没有递归；我们只使用它们的预先计算的和。我们在下一级别的最左侧节点和最右侧节点上可能有递归，显然最多为4。

这通过归纳完成了证明。我们已经证明，在任何级别上最多可以访问4个节点。因此，范围查询的时间复杂度为O（log（n））。

Answer 3

长度为n的间隔可以由k个节点表示，其中k <= log（n）

我们可以根据二进制系统的工作原理来证明这一点。

段树 - 查询复杂性

3 个答案: