Question

下面是一个查找生成树的算法：

STNew(G, w)
   Z ← empty array
   for each edge e in E, taken in random order do
       Z ← Z ∪ e
       if Z has a cycle c then
           let e' be a maximum-weight edge on c
           Z ← Z − e'
   return (Z)

此算法是否始终返回生成树？

我会说是的。它有点像伪装的Kruskals算法 - 排序。

我试图用矛盾来证明这一点。见下文。

假设Z不是生成树。这意味着图中存在循环或断开连接。由于算法的第4行，不能有循环。

但是现在，我怎样才能证明没有断线？

作为图论的新手，我真的没有其他想法。有人会有任何想法或建议吗？

Answer 1

是的，算法总是找到生成树（如果存在，即图表有源）。不确定它是否找到了 minimal 生成树。您已经证明结果图中没有循环，因此我们只需要显示连接性。

证明结果图已连接：

假设它不是，并且（至少）有2个连接的组件U1，U2。
原始图表已连接，因此有一些边缘连接U1和U2，让它为e。检查选择e并添加到Z的点。
现在，由于U1和U2未连接，因此有一点e被删除（否则它们已连接）。让我们迭代一些边e'。涉及的周期包含e（因为它被删除），因此它包含来自u1的节点U1和来自u2的节点U2，以便e=(u1,u2)。 W.L.O，让周期为u1-v1-v2-...-vk-u2-u1。但请注意，删除e后，仍有一条路径u1-v1-v2-...-vk-u2连接U1和U2，因此组件仍然连接在一起。对于将来的任何迭代，这都是正确的，这意味着组件U1和U2在结果图中连接。
矛盾。

QED

证明找到具有矛盾的生成树的新算法的最优性

1 个答案: