n的最小值是什么，使得运行时间为100n ^ 2的算法运行得更快

Question

n的最小值是什么，运行时间为100n ^ 2的算法比同一台机器上运行时间为2 ^ n的算法运行得快？

范围
虽然我对答案很感兴趣，但我更感兴趣的是如何逐步找到答案（这样我就可以重复这个过程来比较任何两个给定的算法）。

来自麻省理工学院新闻算法书

Answer 1

你想要n的值，其中100×n ² 小于2×n。

这是100×n ² 的解决方案 - 2×n <1。 0，恰好是0 < n < 0.02。

千言万语：

编辑：

最初的问题是2×n，而不是2 ⁿ （见评论）。

对于2 ⁿ ，前往https://math.stackexchange.com/questions/182156/multiplying-exponents-solving-for-n

答案是15

Answer 2

首先要知道的是运行时间意味着什么。如果我们在理论上谈论算法，算法的运行时间是完成所需的步数（或时间），具体取决于输入的大小（其中大小为输入例如是比特数，但有时也考虑其他度量）。从这个意义上讲，需要最少步骤数的算法是最快的。

所以在你的两个公式中，n是输入的大小，100 * n ^ 2和2 ^ n是两个算法在给定大小为n的输入时运行的步数。

乍一看，2 ^ n算法看起来比100 * n ^ 2算法快得多。例如，对于n = 4,100 * 4 ^ 2 = 1600和2 ^ 4 = 16。

然而，2 ^ n是指数函数，而100 * n ^ 2是多项式函数。这意味着当n足够大时，情况将是2 ^ n> 1。 100 * n ^ 2。所以你必须解决不平等100 * n ^ 2＆lt; 2 ^ N。这已经是一个相当小的n的情况，所以你可以开始评估函数，从n = 5开始，你将在几分钟内得到问题的答案。