解释以下算法以找到nCr模P

Question

我试图解决涉及模数为素数的大因子的问题，并在另一个解决方案中找到以下算法：

long long factMod (long long n, long long p)
{
    long long ans = 1;
    while (n > 1)
    {
        long long cur = 1;

        for (long long i = 1; i < p; i++)
        {
            cur = (cur * i) % p;
        }

        ans = (ans * modPow(cur, n/p, p)) % p;


        for (long long i = 1; i <= n % p; i++)
        {
            ans = (ans * i) % p;
        }

        n /= p;
    }

    return (ans % p);
}

long long nChooseK(long long n, long long k, long long p)
{
    int num_degree = get_degree(n, p) - get_degree(n - k, p);
    int den_degree = get_degree(k, p);
    if (num_degree > den_degree) { return 0; }

    long long nFact = factMod(n, p);
    long long kFact = factMod(k, p);
    long long nMinusKFact = factMod(n-k, p);

    long long ans = (((nFact * modPow(kFact, p - 2, p)) % p) * modPow(nMinusKFact, p - 2, p))%p;
    return ans;
}

我知道数论的基础知识，但似乎无法弄清楚它是如何工作的。

nChooseK函数似乎使用组合[n！/（n-k）！k！]的定义与使用费马小定理计算的模逆，来代替除法。但是，根据其中一个答案，factMod函数实际上并不计算阶乘。如果是这种情况，nChooseK功能如何工作？

Answer 1

是的，是的！ ≡0mod p当且仅当n≥p，但factMod不计算n！ mod p - 它计算n！/ p ^k mod p其中k是n！的素数因式分解中p的指数，或许为目的计算二项式系数。循环的迭代i（从0开始计数）计算那些因子1 ... n的贡献，其素因子化包括p ⁱ 。语句n /= p;产生p的倍数的子问题。

函数get_degree(n, p)可能在n！的素数因子分解中返回p的指数。如果get_degree(n, p) == get_degree(k, p) + get_degree(n - k, p)，则分子和分母中的p因子完全取消，我们可以使用factMod来考虑其他因素。否则，组合的数量可以被p整除，所以我们返回0。

自（p-1）以来！ ≡-1 mod Wilson's theorem，第一个内部循环是多余的。