列表到树函数的渐近运行时

Question

我有一个merge函数需要时间O(log n)将两棵树合并为一个，以及listToTree函数将元素的初始列表转换为单例树并重复调用{{ 1}}在每一对连续的树上，直到只剩下一棵树。

功能签名和相关实现如下：

merge

这是Chris Okasaki在Purely Functional Data Structures中的练习3.3的略微简化版本。

根据练习，我现在将表明merge :: Tree a -> Tree a -> Tree a --// O(log n) where n is size of input trees singleton :: a -> Tree a --// O(1) empty :: Tree a --// O(1) listToTree :: [a] -> Tree a --// Supposedly O(n) listToTree = listToTreeR . (map singleton) listToTreeR :: [Tree a] -> Tree a listToTreeR [] = empty listToTreeR (x:[]) = x listToTreeR xs = listToTreeR (mergePairs xs) mergePairs :: [Tree a] -> [Tree a] mergePairs [] = [] mergePairs (x:[]) = [x] mergePairs (x:y:xs) = merge x y : mergePairs xs 花费listToTree时间。哪个我不能。 ： - （

对O(n)进行简单的ceil(log n)递归调用，这意味着listToTreeR调用ceil(log n)。

mergePairs的运行时间取决于列表的长度和树的大小。列表的长度为mergePairs，树的大小为2^h-1，其中log(n/(2^h))是第一个递归步骤，h=log n是最后一个递归步骤。因此，每次调用h=1都需要时间mergePairs

我无法再进行此分析。任何人都可以给我一个正确方向的暗示吗？

Answer 1

几乎就在那里。你已经知道表达式是

  

所以唯一的问题是评估这笔钱。使用log（AB）= log A + log B和log 2 ^N = N我们有

  

With help of calculators，我们可以发现X = O（2 ^m ）= O（n），这是预期的。

（如果您想自己计算，请搜索“几何系列”，或使用积分近似求和。）