这个伪代码的运行时

Question

任何人都可以帮我分析以下伪代码的运行时间

for(i = 0; i < n*n*n; i++)
    for(j = i; j < n; j++)
        x++

我看到它的下限为omega（n ^ 3），因为如果在外部for循环内部只是theta（1）那就是它。

我对内循环感到困惑，内循环只运行外循环的前n次迭代。我只是平均内部循环的运行时间：n ^ 3 *（（1 / n ^ 2）* n +（1 / n）* 1，在这种情况下它是O（n ^ 3）？

Answer 1

取决于编译器的智能程度。算法可以分为两部分（这可能有一个错误，但你得到了想法）

// i<n
// O(n^2)
for( i=0; i<n ; ++i )
  for( j=i; j<n; ++j )
    x++

// n < i < n*n*n
// O(n^3)
for( i=n ; i<n*n*n; ++j)
  noop(); //do nothing

对于i > n，第二部分什么都不做，所以智能编译器只会将i循环到n， 在这种情况下，它是O（n ^ 2）。

但是如果你的编译器不聪明，后半部分也会执行，你只会进行O（1）比较，因此整体行为是O（n ^ 3）。

Answer 2

内部循环仅在i<n时执行。所以它是O(n^2)。

Answer 3

您的算法应按以下方式解析：

for(i = 0; i < n*n*n; i++) {
    for(j = i; j < n; j++) {
        x++
    }
    if (i >= n) {
        y ++;
    }
}

其中x计算内循环和外循环的数量，y将在不再执行内循环时计算外循环的迭代次数。

因此，您可以正式进行以下操作：

当n = 10时，结果为：x = 55，y = 990，与上述公式兼容。