在同一个Big-Θ复杂度类中是2 ^ n还是4 ^ n？

Question

是2 ^ n =Θ（4 ^ n）？

我很确定2 ^ n不在Ω（4 ^ n）中，因此不在Θ（4 ^ n）中，但我的大学导师说它是。这让我很困惑，而且我找不到每个Google的明确答案。

Answer 1

2^n 非 4^n的big-theta（Θ），这是因为2^n 不 big-omega （Ω）4^n。

根据定义，当且仅当f(x) = Θ(g(x))和f(x) = O(g(x))时，我们才会f(x) = Ω(g(x))。

权利要求

2^n is not Ω(4^n)

证明

假设2^n = Ω(4^n)，那么根据big-omega的定义，存在常量c > 0和n0，这样：

所有2^n ≥ c * 4^n

的

n ≥ n0

通过重新安排不平等，我们有：

所有(1/2)^n ≥ c

的

n ≥ n0

但请注意，作为n → ∞，不等式的左侧倾向于0，而右侧等于c > 0。因此，这种不平等不能适用于所有 n ≥ n0，所以我们有一个矛盾！因此，我们在开始时的假设必定是错误的，因此2^n is not Ω(4^n)。

更新

正如Ordous所述，您的导师可能会引用复杂性类EXPTIME，在该参考框架中，2^n和4^n属于同一类。另请注意，我们有2^n = 4^(Θ(n))，这也可能是您的导师的意思。

Answer 2

是的：一种方法是注意4^n = 2^(2n)。因此2^n与4^n（指数）具有相同的复杂性，因为n和2n具有相同的复杂度（线性）。

总之，这些基础不会影响复杂性;唯一重要的是指数具有相同的复杂性。

修改：此回答仅显示4^n和2^n具有相同的复杂性，而不是2^n是4^n的大-Theta }：你是正确的，因为没有k常数k*n^2 >= n^4所有n，所以情况并非如此。在某些时候，n^4会超过k*n^2。 （致@chiwangc / @Ordous致谢，强调他们的回答/评论中的区别。）

Answer 3

是。两者都具有指数复杂性。

Answer 4

即使大欧米茄不满意，但使用stirling approximation存在平等性，theta是可能的。因此（2 ^ n）=θ（3 ^ n）。