自定义二进制字符串的证明

Question

对于这个问题，递归地定义了斐波纳契：F~0 = 1 F~1 = 1 F~n = F~n-1 + F~n-2，对于n> = 2 因此，自定义二进制字符串始终以1开头，从不具有两个连续字符串。如果s = s~Ls~L-1 ... s~1是长度为L的字符串，其中s~i在{0,1}中，则s表示的数字为： n（s）= Sigma（i = 1至L）s~i×F~i 示例：n（1000101）= F~7 + F~3 + F~1 = 21 + 3 + 1 = 25

（a）证明每个L＆gt; = 1，如果s是长度为L的自定义二进制数，则n（s）> = F~L

（b）证明每个L> = 1，如果s是长度为L的自定义二进制数，则n（s）<1。 F~L + 1

我试图通过感应证明没有运气，因为我做错了。我不确定如何为L> L>的一般情况证明这一点。 1。

＆＃39;〜＆＃39;是表示变量的下标

Answer 1

让我们从A开始。

我会这样证明：

  

让s成为L=k的自定义二进制字符串，以便k>=1。根据自定义二进制字符串的定义，我们必须s~k = 1因此n(s) = F~k + n(s~(k-1)...s(1)) = F~L + n(s~(k-1) ... s(1))，或s所代表的数字等于F~L加上剩余{{1}所代表的数字k-1的数字。由于我们不能有一个负长度的字符串，我们必须有s

但是，如果您需要以归纳方式证明它，您可以这样做：

  

基本情况：让n(s) >= F~L和L=1成为长度为1的自定义二进制字符串。根据定义，我们必须拥有s。因此s=1，视需要。

     

归纳假设：假设n(s) = n(1) = 1xF~1 = F~L为n(s) >= F~L。

     

归纳案例：设L=1,2,...k-1，让L=k成为长度为s的自定义二进制字符串。

     

如果k只包含一个等于s的数字，这相当于基本情况，我们就完成了。

     

如果1包含多个等于s的数字，请1为第二次出现的索引，让i为自定义二进制字符串数字t。然后我们有s~i ... s~1。由于n(s) = 1xF~k + n(t) = F~L + n(t)的长度为t，因此根据归纳假设，我们会根据需要k-i。

好的，B会变得更难。我会以归纳的方式证明这一点，因为我觉得它更容易。

  

基本情况：让n(s) >= F~L + F~(k-i)>= F~L L=1成为长度为1的自定义二进制字符串。根据定义，我们必须拥有s。因此s=1。

     

归纳假设：假设n（s）< F〜（L + 1）n(s) = n(1) = 1xF~1 = 1 < 2 = F~2 L = 1,2，...，K-1`。

     

归纳案例：让for和L=k成为长度为s的自定义二进制字符串。

     

如果k只有一位数等于s，则相当于基本情况，我们就完成了。如果1有多个数字等于s，那么让1成为第二次出现的索引，i是由数字t表示的自定义二进制字符串{1}}。

     

很明显s~i ... 1。根据归纳假设，我们知道n(s) = F~L + n(t)。由于自定义二进制字符串的连续数字不能为n(t) < F~(i+1)，因此我们还有1或i <= L-2，这意味着i+1 <= L-1因为Fibonacci序列严格增加。

     

全部放在一起：F~(i+1) <= F~(L-1)

     

因此n(s) = F~L + n(t) < F~L + F~(i+1) < F~L + F~(L-1) = F~(L+1).，视需要。