反二进制字符串的证明？

Question

如果 w ：{1 ... L}→{0,1}是二进制字符串， w 的补集，表示为w ^{C < / sup>，是由 sup> c} （i）= 1 - w（i）定义的长度为 L 的字符串。 w 的反向，表示为w ^R ，是由 ^R 定义的长度 L 的字符串（i ）= w（L + 1 - i）。使用这些定义可以仔细证明，对于每个二进制字符串x，（x ^C ） ^R =（x ^R ） ^C 。

我不知道如何开始这个问题。我真的不想直接回答我想通过归纳为未来的问题来学习如何解决这个问题

Answer 1

如果我看到的解决方案是最简单的，那么这是一项非常全面的练习。

我建议你先证明一下以下的引理：

引理1 :( w0） ^C =（w ^C ）1

引理2 :( w0） ^R = 0（w ^R ）

引理1和2都可以通过感应来证明 w 的长度。严格按照给定的规则进行操作是单调乏味的，但不是很难。

认为下面的引理也有同样的论点

引理1b :( w1） ^C = w ^C 0

引理2b :( w1） ^R = 1（w ^R ）

有了这些引理，你应该能够解决最初显示的问题（x ^C ） ^R =（x ^R ） ^C

对 L 进行归纳（即单词的长度）。基本情况应该是微不足道的。在归纳步骤中，你最终会得到像

这样的东西

归纳假设

• （U ^C ） ^{- [R} =（U ^{- [R} ） ^C

左边显示：

• （（U0） ^C ） ^{- [R} =（（U0） ^{- [R} ） ^C

和（通过类比）

• （（U1） ^C ） ^{- [R} =（（U1） ^{- [R} ） ^C

解决此步骤将涉及上述引理。