差分方程 - 离散系统的时间响应分析

Question

我们知道在时间n计算输出样本的差分方程公式是基于其过去/现在的输入样本和时域中的过去输出样本：

我的问题是为什么j从1开始而不是从0开始，如i，以及我们如何以差分方程形式编写以下输出方程：

y(n) = 0.01x(n - 5) + 0.002x(n - 1) + 0.99y(n - 1) 
y(n) = 0.01x(n) + 0.002(n - 1) 
y(5) = 0.01x(3) + x(1)

其次为什么y（n）序列值被计算为一系列输入/输出的总和，因为我一直在研究 y（n）= {2,4,6,8} 当 x（n）= {1,2,3,4} 和n = {1,2,3,4} （例如每个说法）即 y（n）= 2.x（n）。没有提到对于y（n）（y（2）说）值我们需要添加x（n）和y（n）的值，即（取x（1）或y（1）的值）或y第（n-1））

Answer 1

要理解因为索引j从1开始，你必须略微区别地写出你的原始差分方程，将所有y（...）带到LHS上： y（n）+ a1 y（n-1）+ .... + aN y（n-N）= b0 x（n）+ b1 x（n-1）+ ... + bM x（n-M） 如果用求和符号压缩等式，你会看到索引i和j都从0开始。此外你有a0 = 1

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差分方程式中的

y（n）= 0.01x（n - 5）+ 0.002x（n - 1）+ 0.99y（n - 1）是： y（n） - 0.99y（n-1）= 0x（n）+ 0.002x（n - 1）+ 0x（n-2）+ 0x（n-3）+ 0x（n-4）+ 0.01x（ N-5）

不确定其他两个是否有差异方程式

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要理解，因为y（n）序列值是作为一系列输入/输出的总和计算的，您可以通过以下方式查看问题： 你有一个输入x和输出y的通用系统 您的系统能够记住过去的输入和过去的输出，这意味着如果您想要计算新的输出值y（n），您必须使用

• 过去输出y（n-1）y（n-2）... y（n-N）。在这种情况下，系统的输出长度为N

• 当前输入x（n）和过去输入x（n-1）x（n-2）... x（n-M）。在这种情况下，您的系统的输入长度为M

通常，新输出y（n）与过去的输入和输出之间可以有任何关系。 在线性时不变系统的非常特殊情况（但使用了很多）中，新输出y（n）只是过去输入和输出的线性组合（系数bi和aj是数字，它们不是函数时间）：

y（n）= -a1 y（n-1）-....- aN y（nN）+ b0 x（n）+ b1 x（n-1）+ ... + bM x（nM ）

Answer 2

我回答第一部分，

  

为什么j从1开始而不是从0开始？

您始终可以使用j从零开始重写表达式，作为j从1开始的新表达式。简单地：

• 从总和符号中取j=0一词，然后从RHS到LHS
• 在LHS收集y(n)，然后除以(1+a_0)。
• 重新定义b_i -> b_i/(1+a_0)和a_i -> a_i(1+a_0)

现在你在RHS的总结开始于j=1。