在matlab中获得满足线性方程的一个答案的最佳方法

Question

我有一个线性方程式：

vt = v1*x1 + v2*x2 + v3*x3

vt，v1，v2，v3是值为0到1的标量。生成满足上述等式的x1，x2和x3的一个集合（任何集合都可以）的最佳方法是什么。并且还满足

x1>0
x2>0
x3>0

我有几千套vt，v1，v2和v3，因此我需要能够以编程方式生成x1，x2和x3。

Answer 1

有两种方法可以解决这个问题：

1. 根据您在帖子中设计的方法。随机生成x1和x2并确保vt < v1*x1 + v2*x2，然后继续解决x3。
2. 将其配制为线性程序。线性程序基本上是求解受不等式或等式约束的方程组。换句话说：



因此，我们可以将您的问题转化为线性编程问题。 “最大化”语句就是所谓的目标函数 - 您要完成的目标。在线性规划问题中，我们试图最小化或最大化此目标。要做到这一点，我们必须满足受条件中所见的不等式。通常，此程序以规范形式表示，因此每个变量的约束应为正。

最大化条件可以是任意的，因为您不关心目标。你只关心任何解决方案。整个范例可以通过MATLAB中的linprog来实现。你应该注意的是如何指定linprog。事实上，目标是最小化而不是最大化。但是，除了确保所有变量都是正数之外，条件是相同的。我们必须自己编写代码。

就任意目标而言，我们可以简单地x1 + x2 + x3。因此，c = [1 1 1]。我们的平等约束是：v1*x1 + v2*x2 + v3*x3 = vt。我们还必须确保x是积极的。为了对此进行编码，我们可以做的是选择一个小常量，以便x的所有值都大于此值。现在，linprog不支持严格的不等式（即x > 0），因此我们必须通过这个技巧来规避这一点。另外，为了确保值为正，linprog假定为Ax <= b。因此，使用的一个常见技巧是否定x >= 0的不等式，因此这相当于-x <= 0。为确保值不为零，我们实际上会执行：-x <= -eps，其中eps是一个小常量。然而，当我进行实验时，通过这种方式，两个变量最终成为相同的解决方案。因此，我建议我们做的是生成每次都是随机的好解决方案，让我们如同你所说的那样从均匀的随机分布中得出b。每当我们想要解决这个问题时，这将给我们一个起点。

因此，我们的不平等是：

 -x1 <= -rand1
 -x2 <= -rand2
 -x3 <= -rand3

rand1, rand2, rand3是三个随机生成的数字，介于0和1之间。在矩阵形式中，这是：

 [-1 0 0][x1]      [-rand1]
 [0 -1 0][x2]  <=  [-rand2]
 [0 0 -1][x3]      [-rand3]

最后，我们之前的平等约束是：

[v1 v2 v3][x1]     [vt] 
          [x2]  = 
          [x3]

现在，要使用linprog，您可以这样做：

X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

c是为目标定义的系数数组。在这种情况下，它将被定义为[1 1 1]，A和b是为不等式约束定义的矩阵和列向量，Aeq和beq是为等式约束定义的矩阵和列向量。因此，X会在linprog收敛后（即x1, x2, x3）为我们提供解决方案。因此，你会这样做：

A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

例如，假设v1 = 0.33, v2 = 0.5, v3 = 0.2和vt = 2.5。因此：

rng(123); %// Set seed for reproducibility
v1 = 0.33; v2 = 0.5; v3 = 0.2;
vt = 2.5;
A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

我明白了：

X =

0.6964
4.4495
0.2268

要验证这等于vt，我们会这样做：

s = Aeq*X

s = 2.5000

以上只是v1*x1 + v2*x2 + v3*x3。这是以点积形式计算的，因为X是列向量而v1, v2, v3已在Aeq中设置并且是行向量。

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因此，无论哪种方式都很好，但至少使用linprog，你不必保持循环，直到你满足条件为止！

小警告

我忘记在上述方法中提到的一个小警告是，您需要确保vt >= v1*rand1 + v2*rand2 + v3*rand3以确保收敛。既然你说v1,v2,v3在0和1之间有界限，最糟糕的情况是v1,v2,v3都等于1.因此，我们确实需要确保vt > rand1 + rand2 + rand3。如果这是不的情况，则只需取rand1, rand2, rand3的每个值，然后除以(rand1 + rand2 + rand3) / vt。因此，这将确保总和将等于vt，假设所有权重均为1，这将允许线性程序正确收敛。

如果不这样做，那么由于b中存在不等式条件，解决方案将无法收敛，您将无法得到正确的答案。只是一些值得思考的东西！因此，请在运行b

之前为linprog执行此操作

if sum(-b) > vt
   b = b ./ (sum(-b) / vt);
end

祝你好运！