投影矩阵投影平面中的点

时间:2014-06-11 13:17:52

标签: matrix projection projection-matrix

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如何确定4x4 S 矩阵,以便P在X(Y = 0)平面上投影到Q?

Q = S P

2 个答案:

答案 0 :(得分:0)

我将给出从点 C 到平面 E 的中心投影的一般解决方案(假定 L 不包含在< strong> E )。

为方便起见,我将使用Octave / MATLAB表示法。

L 以齐次坐标给出

L=[lx ly lz 1]'

E 以Hessian范式(也是齐次坐标)给出

E=[nx, ny, ,nz, d]'

其中[nx,ny,nz]是平面的法线,而d是其到原点的有符号距离。

然后是矩阵 S ,该矩阵通过投影中心将任意点 P (也在同构坐标中)投影到平面 E > L

S=eye(4)*(L'*E)-L*E'

中心投影是

Q=S*P

作为Octave / MATLAB函数

% A matrix S describing central projection to a plane E
% L a point in homogeneous coordinates of projective 3-space
% E a plane in homogeneous coordinates of projective 3-space
% Requirement: scalar product of L and E is non-zero (i.e. L is not contained in E)
function S = central_projection_to_plane(L, E)
    S = [
     + L(2)*E(2) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4), - L(1)*E(2)                         , - L(1)*E(3)                         , - L(1)*E(4)                        ;
     - L(2)*E(1)                        , + L(1)*E(1) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4) , - L(2)*E(3)                         , - L(2)*E(4)                        ;
     - L(3)*E(1)                        , - L(3)*E(2)                         , + L(1)*E(1) + L(4)*E(4) + L(2)*E(2) , - L(3)*E(4)                        ;
     - L(4)*E(1)                        , - L(4)*E(2)                         , - L(4)*E(3)                         , + L(1)*E(1) + L(2)*E(2) + L(3)*E(3)
];
end % function

P.S。:要得出这一点,请注意,通过 L P 的行可以写为4x4普吕克矩阵

Rx=L*P'-P*L'.

Rx线和平面 E 的交点很简单

Q=Rx*E
 =(L*P'-P*L')*E
 =(eye(4)*(L'*E)-L*E')*P
 =S*P

另请参阅:https://en.wikipedia.org/wiki/Plücker_matrix

答案 1 :(得分:0)

射线的坐标为 r t )= L + t *( P < / strong>- L )。这是组件形式:

r_x = L_x + t*(P_x-L_x)
r_y = L_y + t*(P_y-L_y)
r_z = L_z + t*(P_z-L_z)

现在,您需要找到 Q = r (t),使得r_y = 0。当t = -L_y/(P_y-L_y)

Q_x = L_x - L_y/(P_y-L_y)*(P_x-L_x)
Q_y = 0
Q_z = L_z - L_y/(P_y-L_y)*(P_z-L_z)

通常,投影平面由单位法向矢量 n = (n_x,n_y,n_z)和平面到原点 d 的距离定义。如果 r t )· n ,则点 r t )位于平面上。 strong> = d 其中·是矢量点积。

一般来说, Q 点的解决方案是

t =( d - n · L )/( n ·( P - L ))

Q = L + t *( P - L )< / p>

在伪 C 样式代码中,上面是:

// L : Light Source 
// P : Point to be projected
// n : Plane _unit_ normal vector
// d : Distance of plane to the origin
// returns: The point Q along the ray that intersects the plane.
Vector3 HitPlaneWithRay(Vector3 L, Vector3 P, Vector3 n, double d)
{
    double t = (d-Dot(L,n))/Dot(P-L,n);
    return L + t*(P-L);
}
// Intersect ray with floor (Normal=[0,1,0], Distance=0)
Vector3 HitFloorWithRay(Vector3 L, Vector3 P)
{
    return HitPlaneWithRay(L, P, Vector3.J, 0);
}