分析给定初始内容递增二进制计数器的复杂性

Question

关键是二进制计数器在开头有一些内容。它是否仍然按时间复杂度摊销？如何证明？

我们假设我们有11010二进制计数器，我们将其递增，以便它现在11011，依此类推。

单增量操作的摊余成本是多少？

Answer 1

每项操作的摊余成本为O（1）。

令n为计数器中的位数。

In all increment operations, you need to change the LSb
In half of the operations, you need to change the 2nd LSb
In 1/4 of the operations, you need to change the 3rd LSb
...
In 1/(n/2) of the operations, you need to change the (n-1)th LSb (2nd MSb)
In 1/n of the operations, you need to change n'th LSb (MSb).

这使您的平均表现为：

1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/n <=(*) 2

要正式证明，请使用归纳，修改位数。

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（*）来自Sum of geometric series，a=1, r=1/2，当从1到无穷大求和时，得到SUM = 1/(1-r) = 1* 1/(1/2) = 2。由于我们只从这个数字减去了，我们实际上得到的总和严格小于2.