证明证明系统不完整

Question

我想证明证明系统A不完整。 A由这些公理组成：

1. Y subset or equal X => X->Y
2. X->Y and Y->Z   =>  X->Z (Transitive relation)

因此，我认为我需要证明公理：X-> Y =＆gt;使用上述公理无法证明XZ-> YZ。 我想用感应来证明这一点，但我不确定如何。

我可以说基数为：X-> Y因此无法证明XZ-> YZ。 但其余的呢？

Answer 1

你想证明A在什么方面不完整？

规则X-> Y =＆gt; XZ-> YZ可以使用证明系统A来证明。您可以通过感应来确定X-> Y的证明大小。

• 基本情况：如果X-> Y从1开始，则XZ-> YZ从1开始（YZ是XZ的子集）。
• 步骤：如果X-> Y从2开始，其中X-> B，B-> Y作为前提，则从诱导步骤开始XZ-> BZ和BZ-> YZ。应用规则2.再次获得XZ-＆gt; YZ。 QED