证明支配集是NP完全的

Question

这是问题所在。我想知道是否有明确有效的证据：

顶点覆盖：输入无向G，整数k>是否有一个子集 顶点S，| S |＆lt; = k，覆盖所有边？

支配集：输入无向G，整数k>是否有一个子集 顶点S，| S |＆lt; = k，支配所有顶点？

顶点覆盖它的入射边缘，并支配它的邻居和它自己。

假设VC是NPC，证明DS是NPC。

Answer 1

有一个非常好的和众所周知的缩减:(仅适用于连接图）

给定一个Vertex Cover的实例（G，k）构建一个Dominating Set（H，k）的实例，其中对于H，你取G并且对于每个边（u，v）添加一个连接到u的附加顶点x诉

首先要认识到G的顶点覆盖是H的一个主导集合（它显然是G的DS，新的顶点也是主导的）。因此，如果G的VC小于k，则H的DS小于k。

相反，考虑D，H的支配集。

请注意，如果其中一个新顶点在D中，我们可以用它的两个邻居之一替换它并仍然得到一个支配集：它只是邻居是两个原始顶点并且它们也是连接的 - 所有x都可以可能的支配地位也由你或v支配。

因此我们可以假设D仅包含来自G的顶点。现在对于G中的每个边（u，v），新的顶点x由D控制，因此u或v在D中。但这意味着D是a G的顶点封面

我们拥有它：当且仅当H具有较小的支配集k时，G的顶点覆盖较小的k。

Answer 2

取自：

CMSC 651高级算法，讲师Samir Khuller

Answer 3

我认为第二个问题不是NP。 让我们尝试以下算法。

1. Get the original Graph
2. Run any algorithm which checks if a graph is connected or not.
3. mark all used edges of step 2
4. if the graph is connected then return the set of marked edges otherwise there is no such a set.

如果我理解你的问题，那么它就不是NP Complete。