为什么DFS和BFS的时间复杂度取决于图表的表示方式？

Question

网站http://web.eecs.utk.edu/~huangj/CS302S04/notes/graph-searching.html描述了当使用邻接列表时，DFS和BFS的复杂度为O（V + E），如果使用邻接矩阵，则复杂度为O（V ^2功能）。这是为什么？

Answer 1

在这两种情况下，运行时取决于迭代给定节点的传出边所需的时间。使用邻接列表，运行时与传出边的数量成正比。由于每个节点被访问一次，因此成本是节点数加上边数，即O（m + n）。使用am邻接矩阵，找到所有输出边所需的时间是O（n），因为必须检查节点的行中的所有n列。总结所有n个节点，这可以得到O（n ² ）。

希望这有帮助！

Answer 2

你必须注意，为了探索探索所需的每个顶点时间，它只等于c * x，其中x是顶点的indegree。由于我们有兴趣找到整体复杂性，总时间将是c1 * x1对于n个节点，+ c2 * x2 ... cn xn。考虑到max（ci）= d，我们看到总时间是＆lt; = d （所有顶点的不一致之和）= d * 2m = O（m）。这里我们计算了不是一个顶点的时间，而是所有顶点都在一起。但是排队操作需要时间O（n），所以总体上是O（n + m）。

Answer 3

DFS和BFS的时间复杂度可以计算如下：

迭代每个顶点一次及其对应的入射边，因此总时间复杂度为->

时间复杂度= v1 +（v1的事件边缘）+ v2 +（v2的事件边缘）+ ...... + vn +（vn的事件边缘）

现在可以将其重新组合为->（v1 + v2 + v3 + ..... vn）+（v1的incident_edges + v2的incident_edges + .... vn上的..... event_edges）

因此，总的时间复杂度为=（v1 + v2 + v3 + ..... vn）+（v1的incident_edges + v2的incident_edges + .... vn的..... event_edges）

（v1 + v2 + ... + vn）= V或n（顶点总数）

对于邻接列表表示：

（v1上的incident_edges + v2上的incident_edges + .... n vn上的..... events_edges）= E（边的总数）

因此，邻接表表示的时间复杂度将为O（V + E）

对于邻接矩阵表示：

要访问相应节点（行）的邻居，我们需要迭代特定行的所有列，总计为V

因此，（v1上的incident_edges + v2上的incident_edges + .... vn上的incident_edges）= V + V + .... Vth time V）= V * V

因此时间复杂度将为O（V + V ^ 2）= O（V ^ 2）