BFS和DFS运行时的说明

Question

为什么BFS和DFS O（V + E）的运行时间，特别是当有一个节点具有可以从顶点到达的节点的有向边时，就像在以下站点中的此示例中一样< / p>

http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/depthSearch.htm

Answer 1

E是图中所有边的集合，如G = {V，E}。所以，| E |是图中所有边的计数。

仅此一点就足以让你相信整体复杂性不可能是| V | times | E |，因为我们没有迭代图中每个顶点的所有边。

在邻接列表表示中，对于每个顶点v，我们只遍历那些与它相邻的节点。

| V | | V | + | E |的因子似乎来自完成的队列操作次数。

请注意，算法的复杂性取决于所使用的数据结构。 实际上，我们正在访问图表表示中存在的每条信息，这就是为什么对于图表的矩阵表示，复杂度变为V平方。

来自Cormen，

“排队和出队的操作花费O（1）时间，因此用于队列操作的总时间是O（V）。因为每个顶点的邻接列表仅在顶点出列时被扫描，每个邻接列表最多扫描一次。由于所有邻接列表的长度之和为Θ（E），扫描邻接列表所花费的总时间为O（E）。初始化的开销为O（V），因此BFS的总运行时间为O（V + E）。“

Answer 2

这个问题耗费了我4个小时的时间，但最后我觉得我有一个简单的方法来拍照，一开始我很想说O（V * E）。

总结在Cormen中找到的算法，http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/breadthSearch.htm上的算法是相同的，你有这样的东西：

for（vi in V）    一些O（1）指令    for（e in Adj（vi））    {一些O（1）指令    }

问题是这里执行了多少指令？这将是Sigma-Sum（Adj（vi）），并且该值上限为2 | E |。

一开始我们会自动考虑乘以内循环和外循环的迭代次数，但在这种情况下，内循环上的迭代总数是外迭代器的函数，因此不可能进行乘法运算。 / p>

Answer 3

您最多访问每个边缘两次。有E边。因此将有2 * E边缘访问操作。加上那些没有边缘的节点，换句话说，有0度的节点。最多可以有V个这样的节点。因此复杂性证明是，O（2 * E + V）= O（E + V）

Answer 4

当您将图形视为以相邻列表表示的数据结构时，这一点变得很清楚

您会看到顶点：每个Vert /节点的A，B，C，D，E和相邻顶点，作为这些顶点的列表。如果要使用周期性图，则必须“查看”所有框以检查它是否已被“访问”，或者如果它是树状图，则只需遍历所有子项

Answer 5

你遍历| V |节点，最多为| V |倍。因为我们有| E |的上限在图中总共有边，我们最多检查| E |边缘。不同的顶点将具有不同数量的相邻节点，因此我们不能只需乘以| V | * | E | （这意味着对于每个顶点，我们遍历| E | edge，这不是真的，| E |是所有节点上的边的总数），而是我们检查V个节点，并检查总共E个边缘。最后，我们有O（| V | + | E |）

对于DFS，它是类似的东西，我们循环遍历所有顶点邻接列表，如果没有访问它则调用DFS（v），这意味着我们招致| V |时间步长，加上访问相邻节点所产生的时间（基本上，这些形成一个边，我们总共有| E |边，因此，O（V + E）时间。

    private static void visitUsingDFS(Node startNode) {
        if(startNode.visited){
            return;
        }
        startNode.visited = true;
        System.out.println("Visited "+startNode.data);
        for(Node node: startNode.AdjacentNodes){
            if(!node.visited){
                visitUsingDFS(node);
            }
        }
    }