Prim的算法通过邻接矩阵

Question

我正在考虑使用Prim的算法来优化输水管道问题。当找到有相邻顶点的边时，我非常困惑如何初始化邻接矩阵。我想在边缘存在时加重。然而，w（Vi，Vj）本身看起来是一个权重矩阵。那么，为什么我首先需要A {Vi，Vj}。

我所要做的就是编写一种算法方法，然后继续编写程序。请告知以下是否可以？

1. 设置邻接矩阵A {Vi，Vj}。这里Vi包含所有访问过的节点，Vj包含所访问的Vi的所有相邻节点。矩阵下方将存储与其相邻房屋相隔一定距离的所有房屋。我很困惑

   for 每个Vi：= 1到n do // Vith是存储一对房子的第i个顶点       for 每个Vj：= 1到n do // Vjth是相邻的一对房子有一些重量         如果（Vi和Vj之间存在边缘）则             设置 A {Vi，Vj}与w（Vi，Vj）         其他如果（Vi和Vj之间不存在边缘）则             设置 A [Vi，Vj]：= 0

2. 计算最小生成树。

3. 输出：显示所需的总水管道。

Answer 1

在您的问题中的图算法中，如果给出权重，除了权重之外，通常不会明确地编码邻接。相反，图形被认为是一个完整的图形（即evey顶点与任何其他顶点相邻），但对于初始图形中的非相邻顶点u，v，权重被编码为'无穷大，编码为所用数据类型的最大值，在计算等中识别的一些负值。使用这种方法，不可行的边缘将永远不会被考虑，因为它们比最初问题的任何可行解决方案都更昂贵。

Answer 2

1. 是的，使用邻接矩阵是一种可行的方法，可以实现Prim的算法来构建最小生成树。运行时间为O（V ^ 2）。更具体地说，您将有一个嵌套的for循环，外部循环的成本为O（V），这是每次它拾取顶点时将最小成本加到MST上。因此，为此，您必须制作一个键数组key [v]，以保持将顶点添加到树中的成本。还有一个数组mst [v]以确保在每次迭代之后，都应该访问一个顶点
   1. 然后，基于prim的算法，在每次使用最小成本键[v]拾取顶点v之后，将内部for循环添加到当前的mst中，在标记mst [v之前，下一步该怎么做]访问过吗？您应该使用“邻接矩阵”来比较/更新v的邻居添加到mst的成本。这很重要，因此，每当它选择一个顶点并将其添加到树中时，Prim都会通过从v获取的信息来更新添加到mst的顶点的成本。因此，下次它以最小成本再次拾取u时，只要再次重复直到发现所有顶点，mst [v]就会全部成立。因此，在内部for循环中，它使用表示v的行并检查v的所有邻居，它们是该行中的所有列。如果说w [i] [j]小于当前顶点j的增加成本，则key [j]。然后使用v对该顶点的权重作为该顶点的加总成本，key [j] = w [i] [j]。在访问完所有v的邻居之后，将v标记为完成。
   2. 因此素数很清楚，最好将“不存在”的边设置为权重0，因此在矩阵中，w [i] [j] = 0，这意味着顶点i和顶点j不彼此可达，并且每次您选择AV并检查其邻居时，它只会显示正值。另外，矩阵的对角线应设置为全零，因为当有理由弄清楚将已经在mst到mst中的顶点相加的代价时。总之，如果每次素数检验v的邻居，w [i] [j]
   3. 此算法的运行时间 O（V）来设置所有数组初始化，设置key [root] = 0，以及其他顶点，key [v] = inf，无穷大会增加成本mst，而mst [v]为null。
      然后 O（V）进行外循环迭代，然后在外循环内拾取顶点v，每次最小花费，因此花费O（V）可能会更好使用最小堆。然后检查v的所有邻居，它将是O（E），包括所有检查。因此迭代成本为：O（V）*（V）+ O（E），并且prim的算法成本可以由O（V ^ 2）限制