coq ---功能定义

Question

我感兴趣的是如何在Coq中定义f n：

基本上，作为练习，我想写这个定义，然后确认我的 算法实现了这个规范。 Inductive这里的{{1}}定义似乎很合适，但我无法像上面那样干净。什么是上面的干净的Coq实现？

Answer 1

使用gallais定义的pow_func函数，您可以将您的规范声明为lemmas，例如：

Lemma pow_func0: forall (A:Type) (f: A -> A) (x: A), pow_fun f O x = f x.

和

Lemma pow_funcS: forall (n:nat) (A: Type) (f: A->A) (x:A), pow_fun f (S n) x = f (pow_fun f n x).

通过展开定义

，证明应该是微不足道的

Answer 2

Inductive用于定义在某些操作下关闭的类型;这不是你在这里寻找的。你想要构建的是一个遍历n的递归函数。这可以使用Fixpoint关键字完成：

Fixpoint pow_func {A : Type} (f : A -> A) (n : nat) (a : A) : A :=
 match n with
  | O   => f a
  | S n => f (pow_func f n a)
end.

如果您想为此功能提供更好的语法，可以引入Notation：

Notation "f ^ n" := (pow_func f n).

但是，请注意，这不是对权力概念的良好定义：如果您撰写f ^ m和f ^ n，则不会获得f ^ (m + n)，而是f ^ (1 + m + n) 1}}。要解决此问题，您应该选择基本案例f ^ 0作为合成id的中性元素，而不是f本身。哪个会给你：

Fixpoint pow_func' {A : Type} (f : A -> A) (n : nat) (a : A) : A :=
 match n with
  | O   => a
  | S n => f (pow_func' f n a)
end.