理解多项式时间逼近方案

Question

近似算法是否与多项式时间近似算法（PTAS）相同？例如。可以示出顶点覆盖的A（I）<= 2 * OPT（I）。是否意味着Vertex Cover具有2 多项式时间近似算法或PTAS？

谢谢！

注意：斜体文字是我在发布问题后编辑的。

Answer 1

不，不一定是这种情况。 PTAS是一种算法，其中给出任何ε＆gt; 0，您可以在多项式时间内将答案近​​似为（1 +ε）因子。换句话说，你可以获得任意好的近似值。

已知一些问题（例如，MAX-3SAT）具有针对特定因素的近似算法（例如，5/8），但是已知除非P = NP，否则对问题的处理有一个硬性限制可以在多项式时间内近似。例如，PCP定理表明除非P = NP，否则MAX-3SAT不具有多项式时间7/8近似。因此，MAX-3SAT可能具有PTAS，但仅限于P = NP。

希望这有帮助！

Answer 2

具有2近似算法的顶点覆盖与具有PTAS算法的顶点覆盖不同。有时，存在可以更好地逼近的问题。然后这些问题就接纳了PTAS。

此类算法将问题的实例作为输入，其他输入参数 epsilon > 0。并且它给出一个输出，其值最多为（1+ epsilon ）。OPT 用于最小化问题;和（1 /（1+ epsilon ））。OPT用于最大化问题。

PTAS算法的运行时间是 n 中的多项式（问题实例的大小）。有时，运行时也是 epsilon 中的多项式，然后调用它来接纳FPTAS（完全PTAS）。

实施例： 具有整数利润的KNAPSACK的动态编程算法提供了最优解。 而实际利润的KNAPSACK问题不承认多项式时间算法。但它承认FPTAS，其中实际利润转换为整数利润;和DP算法用于计算具有“四舍五入”利润的解决方案。

另一个例子， Max Independent Set 不接纳PTAS或FPTAS。因为，在这种情况下，我们可以设置 epsilon 的值，这将始终为使用该PTAS算法的任何图形提供最佳解决方案;这是不可能的，直到P = NP。