Question

来自this page的广告素材问题34。

单调最短路径。给定边加权有向图，找到从s到每个其他顶点的单调最短路径。如果路径上每条边的权重严格增加或严格减小，则路径是单调的。

部分解决方案：按升序放松边缘并找到最佳路径;然后按降序放松边缘并找到最佳路径。

我的问题：

假设我们按降序放松边缘，并且我们可以在一个点上选择多于1个边缘。我们将在什么基础上选择下一个优势？理想情况下，我们应该选择较小的边缘，因为它会最小化到该顶点的距离。但是，如果离开它的所有边都具有大于当前边缘权重的权重，那么这样做可能导致该顶点没有其他路径。

那么，我们如何解决这个问题？

Answer 1

这个问题可以通过改进的Dijkstra算法来解决。重点是放松应该不是在每个图形节点（通常）中使用min操作，而是在优先级队列中进行。

以下是通常Dijkstra算法的修改列表。我认为只有边缘的放松按升序排列，这导致严格减少最短路径（增加最短路径，改变第2和第4项）：

通过对每个节点的出局边缘进行排序（按重量）预处理图形。
每个节点应包含传出边列表中的位置（由最轻边的位置初始化）。
不需要优先级队列来支持“减少”操作（因此可以通过简单的min-heap实现）。每个顶点都插入优先级队列，然后永远不会改变，直到它出现在队列的顶部（因此每个顶点可以在队列中多次表示）。队列条目由一个键（通常是路径长度），顶点和传入边缘的权重组成。因此，我们可以假设优先级队列包含传入的边而不是顶点。
放松程序：从队列中弹出边缘（以及因此边缘结束的顶点）;对于顶点的所有外出边缘，以递增的顺序，从图形节点中存储的位置开始，当输出边缘的权重大于或等于输入边缘的权重时结束，将输出边缘推送到优先级队列并提前存储位置。

该算法保证每条边最多处理一次（如果我们考虑严格减少和严格增加路径，则保留两次），因此其复杂度为O（E log E）。

C ++ 11实现：

void getDecreasingSP(Vertices& vertices, Edges& edges, int src)
{
    for (auto& v: vertices)
        sort(begin(v.outEdges), end(v.outEdges),
             [&](int from, int to)
             {
                 return edges[from].weight < edges[to].weight;
             });

    PQ pq;
    auto& src_v = vertices[src];
    for (auto e: src_v.outEdges)
    {
        QEntry entry {edges[e].weight, e};
        pq.push(entry);
        ++src_v.pos;
    }

    while(!pq.empty())
    {
        QEntry top = pq.top();
        pq.pop();
        auto& v = vertices[edges[top.inEdge].to];

        while (v.pos < int(v.outEdges.size()) &&
            edges[v.outEdges[v.pos]].weight < edges[top.inEdge].weight)
        {
            auto e = v.outEdges[v.pos];
            edges[e].backPtr = top.inEdge;
            QEntry entry {top.pathWeight + edges[e].weight, e};
            pq.push(entry);
            ++v.pos;
        }

        if (v.backPtr == -1)
            v.backPtr = top.inEdge;
    }
}

另见working code on Ideone。图形的可视化（由此代码在Graphviz的帮助下生成），其中突出显示严格减少的最短路径之一：

enter image description here

Answer 2

我使用改良的Dijkstra算法来解决它：例如，如果我们想按升序找到源和其他每个顶点之间的最佳路径，请使用优先级队列PQ：

PQ.add（源，0）
对于其他顶点，PQ.add（vertex，infinity）
当PQ不为空时，令顶点i = PQ.removeSmallest（）; 放松i的所有上升沿；

以权重从i到p放松边缘：

if (disTo[p] > disTo[i] + weight && weight > weight[i, edgeTo[i]) {
   disTo[p] =  disTo[i] + weight;
   edgeTo[p] = i;
   PQ.changePriority(p, disTo[p]);
}

在O（E logV）中查找图中的单调最短路径

2 个答案: