Question

下面是一个算法，它找到给定数字N的素数因子分解。我想知道是否有任何方法可以使用巨大的数字来加快速度。我说的是20-35位数字。我想尝试让这些尽可能快。有什么想法吗？

import time

def prime_factors(n):
    """Returns all the prime factors of a positive integer"""
    factors = []
    divisor = 2        
    while n > 1:        
        while n % divisor == 0:
            factors.append(divisor)
            n /= divisor          
        divisor = divisor + 1
        if divisor*divisor > n:
            if n > 1: 
                factors.append(n)
            break
    return factors

#HUGE NUMBERS GO IN HERE!
start_time = time.time()
my_factors = prime_factors(15227063669158801)
end_time = time.time()
print my_factors
print "It took ", end_time-start_time, " seconds."

Answer 1

您的算法是试验分区，其时间复杂度为O（sqrt（n））。您可以通过仅使用2和奇数作为试验除数来改进算法，或者甚至更好地仅使用素数作为试验除数，但时间复杂度将保持为O（sqrt（n））。

为了更快，你需要一个更好的算法。试试这个：

def factor(n, c):
    f = lambda(x): (x*x+c) % n
    t, h, d = 2, 2, 1
    while d == 1:
        t = f(t); h = f(f(h)); d = gcd(t-h, n)
    if d == n:
        return factor(n, c+1)
    return d

要拨打您的号码，请说

print factor(15227063669158801, 1)

几乎立即返回（可能是复合的）因子2090327。它使用了一种名为 rho 算法的算法，该算法由John Pollard于1975年发明.rho算法具有时间复杂度O（sqrt（sqrt（n））），因此它比试验快得多分裂。

还有许多其他算法用于分解整数。对于您感兴趣的20到35位数范围内的数字，椭圆曲线算法非常适合。它应该在不超过几秒的时间内计算该大小的数量。另一种非常适合这种数字的算法，特别是半素数（恰好有两个素因子），是SQUFOF。

如果您对使用素数进行编程感兴趣，我会在我的博客上谦虚地推荐this essay。当你完成它之后，我博客上的其他条目将讨论椭圆曲线分解和SQUFOF，以及各种其他更强大的分解更大整数的方法。

Answer 2

例如，列出数字100的所有素数因子分解。

检查 2 是否是因果关系之一。然后，2＆lt;可以移除2 * c <= 100。例如，4,6,8，...... 98
检查 3 是否是因素之一。然后，3＆lt;可以移除2 * d <= 100。例如，9,12，...... 99
4 已从可能的设置中移除。
检查 5 ，然后删除10,15,20，...，100。
6 已删除。
检查 7 ，.... ....

Answer 3

似乎没有检查除数。对不起，如果我错了，但你怎么知道除数是否为素数？你的除数变量在每个循环后增加1，所以我认为它会产生很多复合数。

Answer 4

对该算法的优化不允许您至少在一般情况下考虑35位数。原因是高达35位数的素数太高而无法在合理的时间内列出，更不用说尝试除以每一个。即使有人倾向于尝试，存储它们所需的位数也会太多。在这种情况下，您需要从general purpose factorization algorithms列表中选择不同的算法。

然而，如果所有素因子都足够小（比如低于10 ^ 12左右），那么你可以使用分段Sieve of Eratosthenes，或者只是找到一个实数的素数列表（例如10） ^ 12左右）在线并使用它而不是试图计算素数并希望列表足够大。

优化素数因子分解算法

4 个答案: